附录2 概率论基础.ppt

相关系数(Correlation Coefficient) 相关系数——与度量单位无关 相关系数可记为 和 的符号相同，而且，当且仅当 时， 相关系数性质(Properties) 1. 2. 对于常数a1, b1, a2和b2,若a1a20 若a1a20, 则 方差性质 (续) 3.对任意常数a和b, 若X和Y不相关，则 4. 若 {X1, X2,…, Xn} 为两两互不相关随机变量，且{ai:i=1,…,n} 为常数，则 条件期望(Conditional Expectation) 当Y是取值为{y1, …, ym}的离散随机变量时， 则有 当Y连续时，E(Y|x)由 对y的所有可能值求积分来定义。 条件期望是对Y所有可能值的一个加权平均，此时的权数反映了X已取某个特殊值的情形。 * (unconditional) distribution Conditional Distribution cpdf: fY|X(y|x)= fY|X(Y=y|X=x)=f(y), if y is independent of x,same mean, same variance fY|X(y|X=x1) fY|X(y|X=x2) fY|X(y|X=x3) x1 x2 x3 Conditional Distributioncpdf: fY|X(y|x)= fY|X(Y=y|X=x): different mean, same variance fY|X(y|X=x1) fY|X(y|X=x2) fY|X(y|X=x3) x1 x2 x3 conditional distributioncpdf: fY|X(y|x)= fY|X(Y=y|X=x): different mean, different varivance fY|X(y|X=x1) fY|X(y|X=x2) fY|X(y|X=x3) x1 x2 x3 E(Y|X) = g(X) is a random variable Example : E(Y|X) = g(X) = a+bX x1 x2 x3 E(Y|X=x1) E(Y|X=x2) E(Y|X=x3) * 性质(Properties) 1. 对任意函数c(X) , 有E[c(X)|X]=c(X) 2.对函数a(X)和b(X), 有 E[a(X)Y+b(X)|X]=a(X)E(Y|X)+b(X) 3. 若X和Y相互独立，则E(Y|X)=E(Y) 4. E[E(Y|X)]= E(Y) 4. E(Y|X)= E[E(Y|X,Z)|X] 性质(Properties)(续) 5. 若E(Y|X)= E(Y), 则Cov(X,Y)=0 (此时，Corr(X,Y)=0) . 6. 若 ,且对每个函数g,有 ,则 和 条件方差(Conditional Variance) 给定随机变量X和Y, Y以X=x为条件的方差为在给定X=x下与Y的条件分布相联系的方差: 公式： 性质(Properties) 若X和Y相互独立, 则Var(Y|X)=Var(Y) 正态及其有关分布(The Normal Distribution and Related Distributions) 正态分布 标准正态分布 分布 t分布 F分布 正态分布(The Normal Distribution) 某些随机变量粗略地遵循正态分布，如人类的身高和体重、考试分数和某国的失业率，大体上有类似于钟形的pdf。 X有一个均值为μ和方差为σ2 的正态分布(normal distribution ) ，记作X ~ Normal (μ,σ2) 在数学上, X的pdf为: 正态概率密度函数的一般形状 μ x 一个正态随机变量的f(x) 标准正态分布(The Standard Normal Distribution) Z ~ Normal(0,1) 标准正态随机变量Z的pdf被记为φ(Z), 根据μ=0 和σ2=1，有： 标准正态累积分布函数被记为Φ(z), 它被取为φan之下Z以左的面积；因Z是连续的，故也可写成Φ(z)=P(Zz)。 标准正态累积分布函数 0 z 0.5 0 1 3 -3 一些重要公式 P(Zz)=1-Φ(z) P(Z-z)=P(Zz) P(a≤Z≤b)=Φ(b)-Φ(a) 对任何c0, 都有