§1、随机变量及其分布函数的概念.ppt

1 本章内容 随机变量及其分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 常用随机变量 随机变量函数的分布 第二章 随机变量及其分布 * §1、随机变量及其概率分布函数 一、随机变量的概念 为了引入微积分方法来研究随机现象，对于随机 现象需要引入变量——随机变量的概念，由随机变量 可以表示随机现象中的事件． 通俗地讲，随机变量就是随机变化的量．具体来 说就是对于随机试验的每个基本可能结果(样本点)都 用一个实数(值)来表示，即用不同的实数值来与随机 试验的基本可能结果对应表示，这样就得到一个定义 在样本空间上的函数 样本点出现的随机性决定其是随机变化的量． * 【引例1】随机试验E：抛一枚硬币，观察正面H 与反面T 的出现情况． 样本空间S ={ H,T }， 分别用数字1和0表示随机试验E的“正面H”和 “反面T”两个基本可能结果． 在样本空间S ={ H,T }上的变量： 即一次掷硬币试验E，出现正面H的次数． 随机试验E中的事件可以用X来表示．例如， “出现正面H”={ X = 1 }， “出现反面T”={ X = 0 }． 这样就得到一个定义 ■ * ■ 【引例2】随机试验E：掷一枚骰子，观察出现的点数，若定义随机变量 X = k (e =“出现k点”，k = 1,2,3,4,5,6 )， 则事件“出现偶数点”= { e | X(e)∈L } 或 { X∈L }， 其中L = { 2,4,6 }．类似地，有 “出现的点数≤3”= { X∈{1,2,3} }； “出现点数3”= { X = 3 }； 事件{ X 1 }为不可能事件； 事件{ X∈R }为必然事件，等． * 【引例3】设随机试验E：测试灯泡寿命(小时)． 样本空间为S ={ t | t ≥ 0 }， 试验E 的基本可能结果(样本点)本身就是数值， 用X表示之，即 其取值由于样本点出现的随机而具有随机性． 随机试验E中的事件可以用X来表示．例如， 事件“灯炮寿命在1000～2500小时”和“灯泡寿命 在1300小时以上”分别可表示为 和 以上诸例，均为在随机试验E的样本空间S上定义 其取值具有随机性，所以称它 们为随机变量．一般地 一个实值变量函数X， * 定义1 设随机试验E的样本空间为S ={e}，称定义 在S上单值实值函数 X = X(e) ( e∈S ) 为随机变量，记为r.v.X.(random variable X)． 理解提示和注意： ①几何直观上，随机变量的取值可以理解为数轴 上一个随机游动变化的点． ②随机变量与普通函数的区别： ◆普通函数的定义域是实数集， 而随机变量X的定义域是样本空间 (样本点不一定为实数)； ◆随机变量的取值由样本点的出现而确定，具有 随机性． S e R X(e) * ③利用随机变量可以描述表示随机事件: 任意给定实数集L，随机变量X在L上取值，记为 { X∈L }={ e | X(e)∈L }, 它表示随机变量X对应取值在L上的所有样本点所构成 的事件，从而 表示该事件的概率． 随机变量的引入，搭起了随机现象的研究与将其 “数量化”使用微积分方法的桥梁．因此，随机变量 的研究是概率论的中心内容． * 实际问题中，常见随机变量有两类：离散型变量 和连续型变量．在概率论与数理统计教程仅讨论这两 类随机变量． 对于随机变量所刻划描述随机现象的统计规律， 一方面需要知道随机变量的所有可能值，另一方面更 重要的是还需要知道其取这些可能值的相应概率—— 。 随机变量的概率分布—— 人们称其为概率分布函数。 下面来介绍随机变量概率分布函数的概念。 * 有定义可知，分布函数F(x)是一个普通的实变量 函数，在点x处的函数值是随机事件{ X ≤ x }的概率， 从而可以通过用微积分的方法研究分布函数F(x)，而 达到研究随机变量（现象）的目的。 随机点 实数点 二、概率分布函数 定义2 设随机变量X，对于任意实数x，称函数 为随机变量X的概率分布函数(distribution function)， 记为d.f.F(x)． * 随机变量X概率分布函数的基本性质： 1、对任意