§2.1随机变量及其分布函数.ppt

西南财经大学天府学院 西南财经大学天府学院 §2.1 随机变量及其分布函数 一、随机变量的概念 二、随机变量的分布函数 一、随机变量的概念 1、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念. 【例1】从某厂大批产品中随机地抽取100个， 其中所含废品的废品数； 【例2】一个月内某交通路口的事故数； 【例3】用天平称量某物体的重量的误差； 【例4】随意在市场上买来一台电视机，其使用 寿命。 【例5】投掷一枚硬币，观察出现正面和方面 的情况。 设Ω是随机试验的样本空间，对Ω中的每一个样本点ω，有且只有一个实数X(ω)与之对应，则称X为定义在Ω上的随机变量，简记为r.v.(random variable) 而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等. 随机变量通常用大写字母 X,Y,Z等表示 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究. 事件及 事件概率 随机变量及其 取值规律 3、随机变量的分类 通常分为两类： 如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等. 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 所有取值可以逐个 一一列举 例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等. 全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间. 这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点. 随机变量 连续型随机变量 离散型随机变量 学习时请注意它们各自的特点和描述方法. 解：分析 例1 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示. 当 0.15 X1000× 0.1时，报童赔钱 故{报童赔钱} {X 666} {报童赔钱} {卖出的报纸钱不够成本} 二、分布函数 为了对离散型的和连续型的 r.v以及更广泛类型的r.v给出一种统一的描述方法，引进了分布函数的概念. 0.1 0.3 0.6 k PK 0 1 2 f (x) x o ———|—— x 1、定义： 设 X 是一个 r.v，称 为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x). 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 的概率. 问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什 么区别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？ X是随机变量, x是参变量. F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率. 由定义，对任意实数 x1x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为： P{ x1X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述. 分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究 随机变量. 【例】抛一枚质地均匀的硬币1次，试求X的分 布函数。 【例】在区间[0,L]上随机地取一点，记改点的 坐标为X，已知： 求随机变量X的分布函数。 2、分布函数的性质 (2) F( ) = F(x) = 0 (3) F(x) 右连续，即 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件. F( ) = F(x) = 1 (1) F(x) 单调不减，即若 x1x2，则F(x1) F(x2) ; 五、小结 分布函数 离散型r.v的 分布函数 连续型r.v的 分布函数 分布函数 的性质 概率函数 与分布函数的关系 概率密度 与分布函数 的关系 * * * * *