第二章新版最终版9.16.ppt

（1） 是由 唯一确定； （2）对任意给定的实数 ，集合 都表示一个有概率的事件。 则称 为一随机变量(Random Variable)。 通常用大写的英文字母 等表示随机变量，有时亦用希腊字母 等表示。 引入随机变量的概念后，任何一个随机试验都可以用随机变量来描述，试验的任何随机事件可以用随机变量借助集合表达。这就把形形色色的随机试验做了一个统一化，数量化。进而使随机事件的概率及其性质能够利用高等数学的方法分析和研究。 设 为一个随机变量，对于任意实数 ，则集合 是随机事件，随着 变化，事件 也会变化。 这说明该事件是实变量 的“函数”。 随机变量 与高等数学中函数的变量有所不同。（1）自变量的取值是可以在函数的定义域内随便指定，随机变量的取值只能在其取值范围内由试验的具体结果确定，具有偶然性；（2） 的定义域是样本空间，值域是实数轴。 注意：①随机变量的本质特性是其取值具有不确定性，在未试验之前无法确知它取哪个值。 ②不论试验结果是数量性的还是非数量性的，都可以由随机变量的取值来表示。 ? 随机变量举例与分类 图中线的高度为 取值于该点的概率值。 注意：离散型随机变量的概率分布除用分布函数可以表示以外，还可以利用概率函数或分布列或分布图表示，概率函数与分布列，分布图是等效的，概率函数比分布列表示简便，而分布图则更直观。 概率密度函数还具有以下性质： (3) 对任意给定的 ， ； (4) 在 的连续点处，总有 ； (5) 连续型随机变量 取任一点 的概率始终为零，即 证明：对任意的 ，令 ，则 由 ，有 由于 是连续型随机变量，其分布函数 是连续函数，当 时，有 所以 。 该性质表明连续型随机变量的概率分布不能用逐点取值的概率表达，而只能用概率密度来表达。 由此，对于连续型随机变量 ，有如下的结果：设任意的实数 ，有 即 ，则对任意满足 的 ，总有 这表明， 落在 的子区间 上的概率，只与子区间的长度 有关（成正比），而与子区间在区间 中的具体位置无关。 均匀分布无论在理论上还是应用上都非常有价值。 例2.16 某市规定公共汽车每隔10分钟发一趟班车，即每隔10分钟就要有一辆公共汽车经过公共汽车站。一位乘客随机地来到一个公共汽车站，问等车时间在5分钟之内的概率是多少？ 解： 设公共汽车均匀地来到车站，乘客的等车时间可以看作是区间 上的均匀分布。则有 若用分布函数计算有 均匀分布的分布函数为 求解过程黑板演示。 指数分布的概率密度函数满足 （1）非负性： ； （2）归一性： 其图像为： 指数分布的分布函数为： 求解过程与均匀分布类似，省略。 指数分布所能刻画随机现象： 随机服务系统中的服务时间； 电话的通话时间； 无线电元件的寿命；动植物的寿命。 ?正态分布的分布函数为 其图像是一条S型曲线，如下 ?2.4.2 标准正态分布 ?定义：在正态分布的概率密度函数中，如果 时，即若随机变量 的概率密度为 　 则称 服从标准正态分布（Standard Normal istrution），记作 ?其分布函数为 ?标准正态分布的密度函数图为： 由图可以看出，该曲线为以 轴为对称轴的单峰曲线。 ?标准正态分布的计算 可以由分布函数与其密度函数的关系解决： 因为