数理统计基础3.ppt

?/2 ?/2 1-? 假设总体服从正态分布N(?,8) 求?的置信区间 例7 本节例1中再假设总体服从正态分布，求电子管寿命的置信区间（?=5%）。 （3）一般总体大样本下数学期望E?的区间估计 中心极限定理指出，在很宽的条件下，无论是否为正态总体?（?，?2），当样本容量相当大时，也有样本平均数渐进地服从正态分布。 一般说来，在n=30时，就可以把样本平均数近似地看作服从正态分布N(?，?2/n)。 所以，对于大样本仍可以按正态总体进行均值?的区间估计。 2、方差未知，对对数学期望E?进行区间估计 （1）大样本下 根据中心极限定理，V ?可以用s2代替，所以仍按已知方差正态分布的方法进行?的置信区间估计。 （2）小样本下 例8 新生儿体重的置信区间 假设新生儿（男）的体重服从正态分布。随机抽取12名新生儿，测得体重如下表，试以95%的置信度估计新生儿（男）的平均体重。 对总体方差的区间估计 无偏有效估计量的意义 （1）一个无偏有效估计量的取值在可能范围内最密集于??附近。换言之，它以最大的概率保证估计量的取值在真值?附近摆动。 （2）可以证明，样本均值是总体数学期望的有效估计量。 三、均方误（Mean Square Error） 最小性 在很多情况下，我们被迫在偏差的大小与方差的大小（即无偏与有效性）之间作出抉择。 有时，一个方差极小的有偏估计比一个方差极大的无偏估计可能更为我们所追求。 此时，估计量的均方误为我们在两者之间的权衡提供了一个有效的尺度。 均方误和均方误最小性的定义 均方误最小的意义 （1）MSE（——误差）分解为精确度与准确度之和。MSE最小就是使估计量方差与估计量偏误之和最小，给出了进行权衡的方法（见下图） （2）如果估计量为无偏估计量Bias=0，那么 MSE(?^)=Var(?^) 即误差由精确度确定。 此时，一个具有最小MSE的估计量一定具有无偏性和有效性，即 MinMSE(?^)=MinVar(?^)。 运用MSE权衡偏差与方差 ? 最小均方误（有偏，方差极小） 无偏，方差极大 ?^ ?^的概率 准而不精 又精又准 精而不准 不精不准 重庆长安厂4支比赛用枪的抽样结果 一次射击就是一次抽样。试问： 哪些是无偏估计？ 哪些是有偏估计？ 哪些是有效估计？ 哪些是无偏有效估计？ 四、一致性 （1）“依概率收敛”的定义 （2）一致性 （3）一致性的意义 （1）“依概率收敛”的定义 （2）一致性 一致性既是从概率又是从极限性质来定义的，因此只有样本容量较大时才起作用。 一致性作为评价估计量好坏的一个标准，计量经济学家在无偏性和一致性之间更偏重选择一致性。 虽然一个一致估计量可能在平均意义上与真值不同，但是当样本容量加大时，它会变得与真值十分接近，即有偏的一致估计量具有大样本下的无偏性。同时，根据大数定律，当n增大时，方差会变得很小，所以一致估计量具有大样本下的“无偏性”和“有效性”。 （3）一致性的意义 显然，一个一致估计量比一个方差很大的无偏估计量优越得多。 由于MSE(?^)=Var(?^)+Bias(?^)2，所以估计量的一致性，实际上等价于当n= 时， MSE(?^)=0，亦即Var(?^)=0和Bias(?^)2 =0，也就是随着样本加大，?^的方差变小；?^的偏差接近于0，这就是一致性描述的情况。 事实上一致性和MSE（?^）=0（当n= ）这两条标准在计量经济学中往往是通用的。 N小 N大 N极大小 ? ?的概率 第六节 通过样本，估计总体（二）——估计方法 一、点估计 （1）矩法 （2）最大似然法 （3）最小二乘法 二、区间估计 （一）对总体期望值的估计 （二）对总体方差的估计 （三）关于区间估计的几点说明 一、点估计 所谓点估计就是给出被估计参数的一个特定的估计值。 常用的点估计方法有四种：矩法、最大似然法、最小二乘法和X2法。 这四种方法分别建立在不同的原则上。 对同一样本根据四种方法估计同一参数，所获得的估计结果可能互不相同。 然而由于各种建立原则的合理性，所以四种方法在研究中都经常使用。 （1）矩法 矩法是求估计量最古老的方法。具体作法是：一样本矩作为相应总体矩的估计量；以样本矩的函数作为相应的总体矩同样函数的估计量。 这种方法最常见的应用是用样本平均数估计总体数学期望。 矩法比较直观，求估计量时有时也比较直接，但它求出的估计量往往不够理想。 矩法点估计的例题 例1某灯泡厂某天生产了一大批灯泡，从中抽取了10个进行寿命试验，获得数据如下（单位：小时），问该天生产的灯泡的平均寿命是多少？ （2）最大似然法(Maximum Likelihood