§2.1随机变量的概念及分布函数.ppt

一、随机变量的概念 二、用随机变量表示随机事件 三、分布函数 四、用分布函数表示概率 * * * * 第2章 本章用定量的方法，从整体上来研究 随机变量及 概率其分布 随机现象。 §2.1 随机变量的概念及分布函数 例2.1 某种游戏需要用摇大转盘的方法确定 我们从下面引例谈及随机变量的概念. 获奖分数，大转盘均分为8份，其中得0分的占2 份，1分的占2份，2分的占4份．一次摇大转盘的 得分在试验之前是不能确定的，因为它的取值依 赖于试验的结果，也就是说它的取值是随机的. 下面我们对这个随机试验的结果进行数学描述． 验的样本空间为 不妨设摇到分格1或2得0分，摇到 ０ ０ １ １ ２ ２ ２ ２ 分格3或4得1分，摇到分格5， 6， 7或8得2分．若用Ｘ表示一次摇大转盘的得分，则 X(ω) ω. ◎掷一枚骰子，出现的点数； ◎盒子中装有10个白球和7个 下面另外举一些随机变量的例子： 黑球，作不放回抽样直到取 到白球为止，已经取出的黑 球数； 这两个例子中的随机变量的取值都只有有限多个 ◎某品牌电视机的寿命． ◎打靶射击中，弹着点与 ◎盒子中装有10个白球和7个黑 ◎某条交通干线上，未来24小 的次数； 靶心的距离； ◎某地区下一年的年降雨量； 球，作放回抽样直到取到白 球为止，已经取出的黑球数； 时内发生交通事故的次数； 这两个例子中的随机变量的取值都是可列无穷多个 这三个例子中的随机变量的取值都充满了某个区间，从而取值个数不可列无穷． 分类：实际中遇到的随机变量有两大类型 连续型随机变量：在后面第４节定义， 离散型随机变量：取值个数有限 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大 或可列无穷 属于非离散型随机变量中的一种 事件．引入随机变量后，对随机现象统计规律的研 究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变 量及其取值规律的研究，并可以用数学方法对随机 试验的结果进行广泛深入的研究和讨论． 那么可用下列几种常见形式表示事件: ◎ ① 用集合； ② 用语言； ③ 用随机变量. 用随机变量表示事件往往比较简洁． ◎ 现在事件有三种表示的方法 设Ｘ是任意一个随机变量，称如下定义的函数 任何随机变量都有分布函数，且由随机变 量本身唯一决定． 定理 2.1 分布函数具有下列性质： 证 (1) 显然；（4）略． 函数的定义式(2.1)及概率的单调性， (3)在 两边取当 时的极限，我们得到 　　可以证明，凡是满足上述四条性质的函数 上述四条性质是判断一个函数是否可以作 一定是某随机变量的分布函数． 为分布函数的充分必要条件． ? 例2.2 是分布函数； 不是分布函数， 因为 ？？？ 不满足单调不减性 是分布函数，因为对于某个 可能有 和 是分布函数 都是分布函数； 例2.3 和 是分布函数 分布函数完整地描述了随机变量的统计规 律．如果知道了随机变量的分布函数，那么可 以求出该随机变量落在任何区间内的概率. x a b 假设ab， 那么 令{摇到分格}，，则该试 变量是从样本空间到实数集的一个映射．也 就是说，对于试验的每一个可能结果，都对应着一个 实数．试验结果具有随机性，而依赖 于，是随着试验结果不同而变化的量，我们称这个变 量为随机变量(random variable，简记为r.v.)．常把 简单写成． 小写希腊字母、、等表示. 随机变量常用英文大写字母、、、、或 在例2.1中，“得0分”= ；“得1分”=； “得2分”= 一般地，如果是随机变量，是实数， 为的分布函数，记作． 固定，是事件的概率，也 表示落在半直线内的概率． (1)有界性 对任意的，； (2)单调不减性 当时， ； (3)极限性质 ，． (4)处处右连续性 对任何，． (2)因为事件，由分布 例2.3 和是分布函数