振型节点定理的证明.pdf

维普资讯 号2_ ～ 刍 1991年 妨 级 基 础 科 学 学 报 1991 第 4期 JOURNAL OF TEXTILEBASIC SCIENCES No．4 振 型 节 点 定 理 的证 明 应祖光 f浙江丝绸工学院 ，杭州310033) 摘 、要 _证嘎多自由度辗动摹境主振型的节点定理，蛉出定理最立的一个克分备件．茧定理揭 示振型元素符号变化的砖律． 关■词 多自由度I摄动系缱。主振塑，节点定理 — — — — — 卡——一 ～ ～ O 引言 ＼ 一 般 ，1个 自由度系统的无阻尼 自由摄动可用如下方程描述 M~+IKx=0． (1) 式 中M、X分别为H阶质量和刚度方 表示 雏位穆向量． 与(1)式相应的颈率方程为 lK一删 1=0 ． (2) 从(2)式可求得 ^个固有糍率 ≥k ．≥…≥ ≥^≥O (i．应为固有频率的平方，为方便 简称之)．对应于丑的固有振型 (或主振墅)向量^由振型方程 (1【一 M)^=0 (3) 确定．各振墅之间存在正交关系： MM^^：嚣{o (≠j)； ((44)) (i=j)， 俨^io (}≠j)． () 许多振动系统固有特性分析的结果表明，第一主振疆 l的 个元素没有正负号变化， 而第二主振型A 的元素则存在一次正负号变化，第三主振型 ^的元素变号两次，依次类 推，第f主墀型4的元素变号 卜1次．振型中相邻元素的变号说明相应振动的反相，在振 型图中表现为 ^曲线与原基准(静态)的一次相交，其交点称为节点．上述结论描述了振型 与节点的关系，通常称之为节点定理．但众多的振动理论著作中都仅指出而已，未见证 明．本文在给定条件下证明了这一定理． 1 第一节点定理 振动系统的质量拒阵M和l刚度矩阵X井非任意的 对于保守系统总有 M 为正定，K 收藕 日瓤：~．990一l0—26 维普资讯 纺 织 基 础 科 学 学 搬 I991年 为正定或半正定，而且它们均为实对称．许多情况下，只要适当选取变量 还可以使 M 成 为对角阵． 节点定理 l 个 自由度的耦台振动系统，如果质量矩阵M 是正定 的对角阵，刚度矩 阵K对称，并且存在 n个互不相同的非负的匿有瓤事 ^(j=『1，2，… ，n)，则不同主振型 元素序列的变号情况 (包括变号位置和次数及零元素的位置和个数n包不相同． 证 因为对角阵M 正定，所以M=aiag(J，lIl， ，… ， )，鹏fo(】f=l，2，… ) 由定理条件存在n个同有频率^^一。… 厶^≥O，可得相应的n个线性无关的主振 型A。( l，2 … ，n) ．M 为正定对角阵，K对称