2-1-1 一维随机变量及其分布.ppt

第 二 章  随 机 变 量 及 其 分 布 第2.1节 一维随机变量及其分布(1) 1. 随机变量的定义 二、分布函数的概念 2.分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结 二、分布函数的概念 一、随机变量的概念 三、例题讲解 四、小结 定义2.1 随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母, ?,η, ζ,….等表示. 一、随机变量的概念 　　随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律. (2)随机变量的取值具有一定的概率规律 　　随机变量其实是一个映射 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数). 2.说明 (1)随机变量与普通的函数不同 释例 1 掷一个硬币, 观察出现的结果 , 共有两种 情况: 若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有 即 X (e) 是一个随机变量. 若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有 可得随机变量 X(e), 释例 2 在有两个孩子的家庭中,考虑 其性别 , 共有 4 个样本点: 2.随机变量的分类 离散型 (1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列多个, 叫做离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 随机变量 连续型 释例3 1, 2, 3, 4, 5, 6. 非离散型 其它 释例 4 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是: 释例 5 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 的次数”, 则 X 的所有可能取值为: 释例 7 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测误差”. 则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值. 释例 6 随机变量 X 为“灯泡的寿命”. (2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间,叫做连续型随机变量. 则 X 的取值范围为 为了对离散型和连续型随机变量r.v（random variable）以及更广泛类型的r.v给出一种统一的描述方法，下面引进了分布函数的概念. 1. 定义2.2(分布函数) 设 X 是一个 r.v，称 为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x). 如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布函数F(x)的值就表示X落在区间[-?, x]的概率. ———|—— x 问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什 么区别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？ X是随机变量, x是参变量. F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率. 由定义，对任意实数 x1x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为： P{ x1X ? x2 } = P{ X ? x2 } - P{ X ? x1 } = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述. 说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况. (2) 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究 随机变量. 证明 (单调不减性) 证明 所以 即任一分布函数处处右连续. 反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件. 重要公式 证明 请同学们思考 　　不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗? 答 不一定.例如抛均匀硬币, 令 例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 于是 故 X 的分布函数为 其图形为一连续曲线 　　2. 随机变量的分类:离散型, 非离散型（只研究连续型随机变量）. 　　1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的, 因此为了便于有力地研究随机现象, 就需将随机事件数量化,把一些非数量表示的随机事件用数字表示时, 就建立起了随机变量的概念. 因此随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数. 4. 分布函数的性质: (1)规范性;(2)单调不减性;(3)无穷极限;(4)右连续。 5.两个重要公式: 3. 随机