概率论课件 第3章第6讲多维随机变量及其分布函数.ppt

* * 1、多维随机变量及其分布函数 2、多维随机变量的边缘分布 3、随机变量的相互独立性 §3.3 多维随机变量及分布 很多随机现象中，对一个随机试验需要同时考察几个随机变量，例如发射一枚炮弹，需要同时研究弹着点的几个坐标；研究市场供给模型时，需要同时考虑商品供给量、消费者收入和市场价格等因素. 1、多维随机变量及其分布函数 定义3.3 若随机变量ζ1 (ω), ζ2 (ω),…, ζn (ω), 定义在同一概率空间 (Ω, F,P )上，就称ζ (ω)= (ζ1 (ω), ζ2 (ω), …, ζn (ω))为n维随机向量或n维随机变量(n-dimensional random variable). 为n维随机变量 ζ(ω)= (ζ1(ω),ζ2(ω), …, ζn(ω)) 的联合分布函数 称n元函数 对维随机向量，其每一个分量是一个一维随机变量，可以单独研究它. 然而除此以外，各分量之间还有相互联系，在许多问题中，这是更重要的. 我们着重研究二维情形，其中大部分结果可以推广到任意维情形. 定义 设随机试验E的基本空间为Ω，ξ和η是定义在Ω上的两个随机变量，由它们构成的向量(ξ，η)叫做二维随机变量． 1.1、二维随机变量及其分布函数 二维随机变量 (ξ，η)可以看作是 xoy 面上的随机点，它们的取值是xoy 面上的一个定点（x，y）。 (ξ，η)可能落在 xoy 面上的有限个点处，也可能落在 xoy 面上某个区域内的所有点上．我们把二维随机变量分成离散型和连续型两类。 称为二维随机变量 (ξ，η)的分布函数，或称为ξ与η的联合分布函数. 定义 设 (ξ，η)为二维随机变量，对任意实数 x，y，二元函数 注:1°规定{ξ≤x , η ≤ y }表示事件 {ξ ≤x }与{η ≤ y }的积事件． 2°分布函数 F(x，y) 在点(x，y) 处的值，就是(ξ，η)的取值落在矩形 －∞＜ ξ≤ x , －∞＜ η ≤ y 上的概率． 二维随机变量(ξ，η)的分布函数F(x，y)具有 性质： 1°0≤F(x，y)，且对任意x，y有 1.1.1二维随机变量的分布函数的性质 2°F(x，y)是变量x和y的单调不减函数． 3°F(x，y)关于x左连续，关于y也左连续 4°(ξ，η)落在矩形区域x1＜ ξ≤x2，y1＜ η≤y2上的概率为 1.2、二维连续型随机变量 定义 设二维随机变量(ξ，η)的分布函数为 F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)，使对任意 x，y有 性质1 性质2 则称(ξ，η)为二维连续型随机变量，称f(x,y)为(ξ，η)的概率密度或ξ与η的联合概率密度． 性质3 在f(x,y)的连续点处有 性质4 设G为xoy面上一个区域，点(X，Y)落在G内的概率为 解 （1）由 例6 设二维随机变量(ξ，η)的概率密度为 （1）求k；（2）求分布函数F(x,y)；（3）求P{ξ ＞η}． 而 （2）当 x＞0，y＞0时 则有k =6． 对于其它点(x，y)，由于f (x,y)=0，则F(x,y)=0． 于是 （3）以G表示区域{(x,y)|x＞y}(如右图)，则有 (1)．均匀分布 设D为xoy面上的有界区域，其面积为S，如果二维随机变量(ξ，η)具 有概率密度 1.3、几种常用的二维连续型随机变量的分布 则称(ξ，η)在区域D上服从均匀分布． （1） (ξ，η)的概率密度； 例7 设二维随机变量(ξ,η)在 （2） 上服从均匀分布，求： 解 （1）如图，区域D的面积为 ， 因此,(X，Y)的密度为 （2）记区域 则有