9.1随机变量及其分布函数.ppt

第二章 例1 * 随 机 量 变 其 及 分 布 为更好地揭示随机现象的规律性并利 用数学工具描述其规律, 有必要引入随机 变量来描述随机试验的不同结果. 例1 检测一件产品可能出现的两个结果 , 可以用一个离散变量来描述. 例2 将一枚硬币抛三次，以X表示出现正面的次数 H：出现正面 T：出现反面 样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X的值 3 2 2 2 1 1 1 0 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数. e. X(e) R 有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）. 每天从郑州下火车的人数； 灯泡寿命可用一个连续变量 T 来描述. §2.1 随机变量及其分布函数 设 ? 是试验E的样本空间, 若 则称 X ( ?) 为 ? 上的 随机变量 r.v.一般用大写字母 X, Y , Z , ? 或小写希腊字母 ?, ?, ? 表示. 定义 随机变量 ( random variable ) §2.1 按一定法则 简记 r.v. X . 随机变量 是 上的映射, 此映射具有如下特点 定义域 样本空间 ? 随机性 r.v. X 的可能取值不止一个, 试验前只能预知它的可能的取值，但不 能预知取哪个值 概率特性 X 以一定的概率取某个值 引入r.v.后, 可用r.v.的等式或不等式表达随机事件, 例如 —— 表示 “某天9:00 ~ 10:00 接到电话次数超过100次” 这一事件 样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X的值 3 2 2 2 1 1 1 0 {X=2}={HHT HTH THH} p(X=2)= P(X=1)= 为事件A 的示性变量 r.v.的函数一般也是r.v. 可根据随机事件定义 r.v. 设 A 为随机事件，则称 在同一个样本空间可以同时定义多个 r.v., 例如 ? = {儿童的发育情况 ? } X(?) — 身高, Y(?) — 体重, Z(?) — 头围. 各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没有关系—— 即 相互独立 离散型 非离散型 r.v. 分类 其中一种重要的类型为 连续性 r.v. 引入 r.v. 重要意义 ◇ 任何随机现象可 被 r.v.描述 ◇ 借助微积分方法 将讨论进行到底 在掷硬币试验中， 定义X为 例1 则X是样本空间 上的随机变量. 例2 考察测试灯泡寿命的试验，其试验结果是 数值，以X表示灯泡寿命（小时），这个 变量X随试验结果的不同而取不同的数值， 因而是定义在样本空间 上的 函数， 即 是随机变量. 表示随机事件：灯泡使用寿命超过1000 小时 随机变量的分布函数 样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X的值 3 2 2 2 1 1 1 0 概率的分布情况： X 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 1/8 3/8 k PK 0 1 2 3 考虑 例2 对于灯泡的寿命T小时，我们感兴趣的不是T的值，而是寿命大于某个数的概率，因而需要研究随机变量所取的值落在一个区间的概率： 为 X 的分布函数. 设 X 为 r.v., x 是任意实数,称函数 定义 分布函数 ———|—— x 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 的概率. 由定义，对任意实数 x1x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为： P{ x1X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2