7-5_组合.doc.doc

知识框架图 7 计数综合 7-5 组合 7-5-1组合及其应用 7-5-2排除法 7-5-3插板法 1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合； 3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如法、板法等． 一、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作． 一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步： 第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法； 　　第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法． 根据乘法原理，得到．因此，组合数． 这个公式就是组合数公式． 一般地，组合数有下面的重要性质：() 这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法． 例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即． 规定，． 模块一、组合及其应用 计算：，；，， ⑵ ， 【小结】注意到上面的结果中，有，． 计算：；；．（2级） ⑴ ； ⑵ ；⑶ ． 计算：⑴ ；；．（2级） ⑴ ⑵ ⑶ ． 6个朋友聚会，每两人握手一次，一共这与课前挑战的情景是类似的．因为两个人握手是相互的，个朋友每两人握手一次，握手次数只与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题． 由组合数公式知，(次)．所以一共握手次． 某班毕业生中有名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？(次)． 门任意选修课，要求每个学生从中选学门，共有多少种不同的选法？被选中的门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题． 由组合数公式知，(种)． 所以共有种不同的选法． 因为比赛是单循环制的，所以，个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关．所以，这是一个在个队中取个队的组合问题． 由组合数公式知，共需进行(场)比赛． 由组合数公式知，共需进行(场)比赛． 其他所有的人赛一场，根据积分决出场，那么共？从若干人中选出人比赛，与选出的先后顺序无关，这是一个组合问题．依题意，假设有个人参加循环赛，应该有，所以，所以，即一共有人参加循环赛． 个阶段进行，第阶名选手分成个小组，每组人，分别个小组产生的前名共人个小组，每组人，分别进行单循环赛；第阶段：个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确至名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？第一阶段中，每个小组内部的个人每人要赛一场，组内赛场，共个小组，有场； 第二阶段中，每个小组内部人中每人赛一场，组内赛场，共个小组，有场； 第三阶段赛场． 根据加法原理，整个赛程一共有场比赛． 从分别写有、、、、的五张卡片中任取两张，成一道两个一位数的乘法题，问：有多少个不同的乘积？有多少个不同的乘法算式？由组合数公式，共有(个)不同的乘积． ⑵ 要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题． 由排列数公式，共有(种)不同的乘法算式． 分别写有、、、、的张卡片中任取两张，成一道两个一位数的法题，(种)．中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同？两个数的和是偶数，通过前面刚刚学过的奇偶分析法，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与顺序无关，所以是组合问题． 从个偶数中取出个，有(种)取法； 从个奇数中取出个，也有(种)取法． 根据加法原理，一共有(种)不同的取法． 【小结】在本题中，对两个数的和限定了条件．不妨对这个条件进行分类，如把和为偶数分成两奇数相加或两偶数相加．这样可以把问题简化． 、、……、、这个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选