8-1多元函数的概念课案.ppt

作业： 习题8-1： 1； 2； 3(1)； 4(1,2,3)； 5 二元函数的图形通常是一张曲面, 其在XOY坐标面上的投影就是该函数的定义域. 例如： 图形如右图. 例如： 右图球面. 定义2. 设 二 元函数 则称 A 为函数 P0 (x0 , y0 )是D 的聚点, 若存在常数 A , 当 都有 使得对任意 三、多元函数的极限 的定义域为D, 给定的正数 ? , 总存在正数? , 对一切 P (x , y )在 D 上趋于P0 (x0 , y0 ) 时的极限(也称为二重极限), 记作 说明： (1) 只要求函数z=f(x,y)在p0(x0,y0)的某个邻域内有定义, 但不要求函数在点p0(x0,y0)有定义. （4）证明极限不存在的方法： P以两种不同的方式(路径)趋近于 ,得到的极限值不同，则f(x,y)在 处的极限不存在. 例如：P(x,y)沿y=kx趋近于 ,得到的极限值 与k有关，则f(x,y)在 处的极限不存在. （3）定义中 的方式是任意的； 一元 多元 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极限. 则有 k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 例1. 讨论函数 （P302，3（1）） （5）二元函数的极限也叫二重极限 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在. ? 二重极限 不同. 如果它们都存在, 则三者相等. 与累次极限 例如, 显然 但由例1 知它在(0,0)点二重极限不存在 . （6）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． （罗必达法则、单调有界法则除外） 解: 原式 例2.求 例3 求 解:原式 例4 求极限 解 （P300，例3，例4） 四、 多元函数的连续性 定义3 . 设 二 元函数 定义在 D 上, 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 如果存在 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 则称 二 元函数 连续. 连续, 例如, 函数 在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数 上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能 在某曲线上的所有点处均间断，称为间断线。 多元初等函数： 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”： 是指能用一个算式表示的多元函数，它由常量及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤而得到。 结论: 一切多元初等函数在其定义区域内连续. 例如: （P302，4（1）） 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (3)对任意 (有界性定理) (最值定理) (介值定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 2、多元函数极限的概念 3、多元函数连续的概念； 4、多元初等函数的连续性； （趋近方式的任意性） 五、小结 1、多元函数的定义； 5、有界闭区域上连续函数的性质 求二重极限的基本方法 证明二重极限不存在的方法 （一切多元初等函数在其定义区域内连续.） （有界性定理、最值定理、介值定理） * 第八章 多元函数 第八章 多元函数 第八章 多元函数 第八章 多元函数 第八章 多元函数 第八章 多元函数 第八章 多元函数 第八章 多元函数 第八章 多元函数 第八章 多元函数 第八章 多元函数 第八章 多元函数 多元函数微分学 第一节 多元函数的基本概念 一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 平面直角坐标系 坐标平面上两点 图中P点的坐标记为 与 的距离为 Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个) xoz面 1. 基本概念 Ⅰ 向量 在直角坐标系下 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴 : 坐标面 : 2. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式: 对两点 与 3. 曲面与方程 1.显然当 时,它是半径为 的圆, 且平面往上平移时圆愈来愈大; 2. 当 时,有