02向量的点积与叉积.ppt

高等数学（下）主讲杨益民 数学模型 高等数学 北京工商大学杨益民 第二节 数量积、向量积与混合积 一、两向量的数量积 A ? B 定义 ? 数量积也称为“点积”、“内积”。 数量积的若干性质： 证明（第一个等式） 证明（第一个等式） 设 数量积的坐标表示： 证明： 解： 例3 证明三角函数的余弦定理： 证明： 如图 A B C b a c ? 例4 在xoy平面上，求一单位向量，使它与 垂直。 二、两向量的向量积 力矩 方向：向外（拧松） 支点O A作用点 力 力臂l 大小： 支点O A作用点 力 力臂l 向内（拧紧） 方向总是依 成右手系，且垂直于 平面。 定义 模： 方向： 向量积也称为“叉积”、“外积”。 几何解释： 向量积的性质： // 向量积满足下列运算规律 （1） （2） （3） 向量积的坐标表达式 设 向量积还可用三阶行列式表示 记住：欲求同时垂直于 的向量，请用叉积吧！ 称为 的混合积。 解： 解： 例9 设 则 共面。 证法一： 又 共面。 证法二： 的两端点乘 h S=|a ? b| 混合积的几何意义 以为 边的平行六面体的体积。 混合积的坐标表示 设 利用行列式的行交换性质可得： 轮换 解: A D C B 注意：双重符号|| ||，第一重表示行列式，第二重表示取绝对值。 解： 作业：习题8－2 1，3，7，9，10，12 17，18，19 作业：习题8－1 * * * *