04-1若干数学观点中的数学文化.pptVIP

第四章 若干数学观点中的数学文化第一节 “对称”的观点 数学公式中的对称 海伦公式 其中 正弦定理 对称多项式 阿拉伯建筑物的外墙 美国哈佛大学曾发表一份研究报告称，伊斯兰世界对数学有过重要贡献。研究人员认为，中世纪伊斯兰世界的外墙砖设计图案说明它们的设计者掌握了西方世界500年后才掌握的数学概念。 文学中的对仗 上联对下联： 明月 -- 清泉 自然景物 明--》清（形容词）； 月--》泉 （名词） 碳 富勒烯 那么，什么是“对称”的共性？  什么是“对称”的本质？ 如何用数学语言描述“对称”？ “对称即群” 2 从不变性看“对称” 这些运动都是变换；这些变换共同的特点 是，都保持平面上任意两点间的距离不变。所 以，把反射、旋转、平移，以及它们的 相继实施，统称为 “保距变换”。 （有意 避开“滑动反射”，含于“相继实施”中） 由这一观点自然的延伸,就可以想到描述平 面图形对称性强弱的一种量化的方法.这就是把 所有使某平面图形 K 不变的“保距变换”放在一起, 构成一个集合,记为S(K) 并称其为K的对称集. 数学公式中的对称 海伦公式 其中 正弦定理 对称多项式 文学中的对仗 上联对下联： 明月 -- 清泉 自然景物 明--》清（形容词）； 月--》泉 （名词） [ 思 ]：请你用运动的观点，“变中有不变”的语言，叙述氯化钠和金刚石分子结构的对称性。 1. 集合上的可逆变换 设M是一个集合，则M到自身的一个映射 称为“M上的一个变换”；M到自身的一个可逆 映射称为“M上的一个可逆变换”。 四、对称变换群 上面把“对称”这一概念，用集合及 变换的语言严格叙述出来了，并由 此给出了“子集N的对称变换”和“子 集N的对称集 ”的概念，并用它们来描 述N的对称性。 子集 的对称集 ，不是一个普 通的集合，而是一个具有代数结构的集合。它 的结构表现在： 中有运算，即 S(N) 中任意两个 元素的相继作用，记为 ；运算还有规律， 这些规律如下： 举 例 应 用 在晶体分类上的应用 (230种) 用变换群下不变量的观点统一地考察几何学 在讨论“5次方程根式解”问题上的应用 群 在讨论“5次方程根式解”上的应用 1.伽罗瓦探寻“方程可用根式解”的总思路： 不再去寻找求根公式，而是从“根集的置换”的角度去考虑问题。 拉格朗日、高斯、鲁菲尼、阿贝尔引入“根集的置换”。 伽罗瓦引入”群”、“域”，创立“伽罗瓦理论” 2．方程在系数域上的群 次 不妨设无重根， { 根集的置换，又保持根之间在F中的全部“关系”不变 } （小于等于 个元素） 如 ，在 作用下 变为 本节结束 谢谢 2.子集的对称 M N 考虑M上的有特点的可逆变换 变中有不变，“变”,是指集合M上有特点的一些可逆变换,每个可逆变换 都“改变”了集合M中的元素和子集.这里的“不变”,是指对于M的一个具体的子集N,有些 在整体上保持N不变,即 称这样的 为“N的对称变换”.把所有这样的“对称变换”放到一起,构成一个集合,记为 称为“N的对称集”，用来描述N的对称性。 与 对照，基本精神是一致的。 3. 小结 这里用大量篇幅，从特殊到一般，把“对称”的本质抽象出来，定义了数学意义