1.1-1.2群的基本概念.ppt

群的阶：群元的数目，记作 g. 有限群: 由有限个元素构成的群，否则为无限群. 离散（分立）群：群元的数目为可数的无穷多. 连续群：群元的数目为不可数的无穷多. 阿贝尔(Abel)群（交换群）: 元素乘积都可以对易. 非阿贝尔群: 不是所有的元素乘积都可以对易. 群的基本性质 （1）单位元 E 的逆元仍为单位元本身 （2）逆元的逆就是群元本身 （3）乘积的逆元为 例： 1 ．取“ 数学对象”为普通的数 ( l ) 全部正、负整数（包括零）的集合：群乘为代 数的加法运算，单位元为零，任意群元为 A=n，其 逆 A-1=-n．是一个无限的阿贝尔群． ( 2 ) 全部正、负实数的集合：群乘为数乘，单位元 是 1 ，任意元A=n，其逆 A-1 = l / n ，当n ≠ 0 时， l / n 在集合内；当n=0 时， 1 / n不在集合内．因 此，这个集合不是群． ( 3 ) 如果将 0 从 (2) 的数集中去掉，这样的数集构 成群．任意两个元的乘积都不是 0 ，而是这个集合 中的某一个确定的数．因此这个数集是一个群．而 且是一个阿贝尔群． ( 4 ) 集合{ 1 ，-1}在数乘运算下构成一个群；集合 {l ，- l , i , - i }亦构成群，这个群中的各个元是由 （ ik）构成，其中 k = 0 , 1 , 2 , 3 ． 如果一个群的所有群元可以由某个元的幂来产 生，那么这类群就称作循环群． {1，-1, i，-i}是一个 循环群．显然，循环群都是阿贝尔群. 2 ．取“数学对象”为方矩阵 ( l ) 全部n×n矩阵．群乘为矩阵乘法，单位元就是单 位矩阵．但集合中包括了降秩方阵（ detA =0） , 而这 种方阵是不存在逆矩阵的，所以这样的集合不构成 群． ( 2 ) detA ≠0 的全部n×n矩阵的集合构成群； detA =±1 的全部n×n矩阵的集合亦构成群； detA = +1的全部n×n矩阵也构成群； detA = 1 的全部n×n矩阵不构成群．因为 det (AB） = detA · detB=（-1）·（- 1）= l ，集合不具有封闭性， 所以不是群． ( 4 ) 2 × 2的矩阵构成群 3．取“数学对象”为对称操作（变换）． 对称操作: 使具有几何形状的实体自身重合的操作． 对称性群（变换群）:由对称操作的集合构成的群. 群乘定义为相继的两个操作，即 AB 定义为先进行操作 B ，接着进行操作 A . ( l )轴转动群: 绕某一固定轴转动任意角度的操作组成的 群． 以 R (θ)表示转动θ角（按右手螺旋的方向）的操作，绕 同一轴转θ’ 的操作记作R(θ’)，则 R(θ’) R(θ) = R(θ’+θ） R (θ)的逆就是绕同一轴转过-θ的操作，即 R-1 (θ) = R (- θ) 轴转动群是无限的阿贝尔群． ( 2 ) 使正三角形自身重合的对称操作构成群． 六个转动操作可以使之自身重合． 分别绕 A、B、C 轴转动π角的操作，记作 A、B、C ； 绕垂直于三角形平面的轴逆时针转动 2π／3角的操作记 作 D ; 绕相同的轴按顺时针方向转动 2π／3角的操作记为F； 不动操作 E 则是单位元． 平面正三角形对称群. 保持平面正三角形空间位 置不变的所有转动变换 E : 不转 D: 绕 z 轴转2π/3 F : 绕 z 轴转4π/3 A : 绕 A 轴转π B : 绕 B 轴转π C : 绕 C 轴转π 考虑中心反演 I 的操作，使正三角形自身重合的操作选取为： Oz 轴垂直于纸面，另有四个轴 OA、OB、OC、OD与Oz轴垂 直而位于Oxy平面上，而且，OA与OC、OB与OD互相垂直. 正三角形的三个顶点位于Ox、OA及OB轴上. 相应的变换矩阵 ( 3 ) 使正方形自身重合的对称操作的集合构成群，称作 C4v群． Oz 轴是垂直于纸面的轴．使正方形不变的操作共有 8 个： E：恒等操作； c2z：绕 z 轴转过180o； c4z和c4z-1：绕z轴按右手螺旋方向分别转90o和 270o; c2x和c2y：分别绕 x 轴和 y 轴转过 180o； Ic2xy和Ic2x?：分别绕（i+j）轴和（i-j）轴转过 180o后再作中心反 演；它们分别等效于含Oz轴