1数学建模的概念和方法.ppt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 结论：共有四种最佳方案，经过11次可安全过河. 此作法可进行推广，有多名商人和随从时，利用计算机编程来实现. 这是一个多步决策问题！ 教 师： 冯 弢 办公室： 机械楼 N202 Email : tfeng@ 1. 数学建模的概念和步骤 1.1. 数学建模的概念 1.2. 数学建模的步骤 1.3. 一个数学建模实例 1.4. 数学模型的分类 1.5 . 数学建模竞赛介绍 数学建模，简单地讲就是用数学的知识和方法去解决实际问题. 一个简单的例：甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行要30 小时，从乙到甲逆水航行要50 小时，问船速、水速是多少？ 解：设x为船速，y为水速，有 (x + y) 30 = 750 (x - y) 50 = 750 解之 x = 20 ，y = 5. 1.1 数学建模的概念 原型 : 人们在现实世界中关心、研究、或从事生产、管理的实际对象. 模型 : 为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息进行简化、提炼而构成的原型替代物. 模型可以有很多类型：直观模型、物理模型、思维模型、数学模型等. 数学模型：由数字、字母或其他数学符号组成， 描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法 注：并非所有实际问题都可通过数学建模求解. 几个相关的概念 现实对象与数学模型的关系 基于合理的假设通过数学语言来“描述实际现象”“近似实际问题” 建模的目的是解决实际问题, 实践是检验模型好坏的唯一标准 另一个简单的例：一个笼子装有鸡和兔若干只，已知它们共有8个头和22只脚，问该笼子中有多少只鸡和多少只兔？ 解：设笼中有鸡x只，有兔y只，有 x + y = 8 2x + 4y = 22 解之 x = 5 ，y = 3. 1.2 数学建模的步骤 根据问题的背景和建模的目的做出假设 用字母表示要求的未知量 根据已知的常识列出数学式或图形等 求出数学式子的解答 验证所得结果的正确性 数学建模的步骤： 模型准备 ? 模型假设 ? 模型构成 ? 模型验证 ? 模型分析 ? 模型求解 ? 模型应用 数学建模的步骤： 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就 可以使四只脚同时着地，放稳了. 使用数学的语言，解释这种现象！ 1.3 一个数学建模实例 模型假设: 1、椅子有四条腿且四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方形 (对椅子的假设) 2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断，没有像台阶那样的情况，即地面可视为数学上的连续曲面 (对地面的假设) 3、地面相对平坦，椅子放在地面上总至少可以有三只脚同时着地（对椅子和地面之间关系的假设） 模型构成: 首先 用变量表示“椅子的位置”. 正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示“椅子的位置”. ? A B C D 图中A、B、C、D为椅子的四只脚，坐标系原点选为椅子中心，坐标轴选为其对角线. 模型构成: 其次 要用数学符号表示“椅脚着地”. 椅子在不同位置时椅脚着地与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量 ? 的函数. 虽然椅子有四只脚，因而有四个不同的距离，但由于正方形的对称性，只要设两个距离就行了. 记 f(?)为A、C两脚与地面的距离之和； g(?)为B、D两脚与地面的距离之和. ? A B C D 模型构成: f(?)： A、C两脚与地面的距离之和；g(?)：B、D两脚与地面的距离之和. f(?)?0、 g(?)?0，都是?的连续函数 (由假设2) 对任意?，有f(?)、 g(?)中至少有一个为0 (由假设3) 不妨设当? = 0时，f(?)0、 g(?)=0 故此本问题归为证明如下数学命题： ? A B C D 数学命题 (本问题的数学模型): 已知f(?)、 g(?)都是关于?的非负连续函数,如果对任意的?，都有 f(?) g(?) = 0，且f(0) 0、 g(0) = 0 ，则存在?0，使f(?0) = g(?0) = 0. ? A B C D 模型求解: 证明：令h(?) = f(?) - g(?), 由于h(?)是闭区间[0, ?/2]上的连续函数，必存在 ?0 ? (0, ?/2), 使h(