2.1.1函数的概念1.ppt

2.1.1函数的概念(1) 函 数 小 史 * * 函数是描述变量之间依赖关系 和集合之间关系的一个基本的数学 模型。 一、函数的概念 下面先看几个实例： (1)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)变化的规律是 h=130t-5t2 (*) 这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B ={h|0≤h≤845}. 。 问题：你能得出炮弹飞行1s 、 5s 、10s 、20s 时距地面多高吗？ (2) 近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变化情况： 对于数集A中的每一个时刻t，按照图中的曲线， 都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应. 问题（3）：恩格尔系数与时间的关系是否和前两个例子中的两个变量之间的关系相似？如何用集合的语言来描述这个关系？ 时间的取值集合 国际上常用恩格尔系数（恩格尔系数=食物支出金额/总支出金额） 反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高， 问题（4）：以上三个例子的共同特点是什么？ 三个实例中变量之间的关系都可描述为： 对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，都有唯一确定的y和它对应. 对应关系有解析式，图象，表格 归纳以上三个实例，我们看到： 函数的概念：(现代) 设集合A是一个非空的数集，对于 中的任意数x， 按照确定的 ，都有唯一确定的数y与它对应，则 这种对应关系叫做集合A上的一个函数（function）． 记作： y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这 个函数的定义域； 如果自变量取a,则由法则f确定的y称为函数在a处的函数值， 记作: y=f(a)或y|x=a 所有函数值构成的集合{y|y=f(x） x∈A }叫做这个函数的值域． 注意： 1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； 2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． 构成函数的要素有那些? 集合A 法则f 问题：初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应关系分别是什么？ 值域 定义域 函 数 数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用，有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用.函数就是这样的重要概念. 在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域．纵览宇宙，运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关．正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化． 最早提出函数（function）概念的，是１７世纪德国数学家莱布尼茨．最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如 都叫函数．以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标． １７１８年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数．贝努所强调的是函数要用公式来表示． 后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准． １７５５年，瑞士数学家欧拉把函数定义为“如果某些变量：以某一种方式依赖于另一些变量．即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了．由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数．他认为：“函数是随意画出的一条曲线。” 当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数’． １８２１年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数，在柯西的定义中，首先出现了自变量一词. １８３４年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出。”这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法