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Chap03数值积分.ppt

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Chap03数值积分课案

定理 3.6 对任意的 f ∈ C[a , b], 则 Gauss 求积公式均收敛, 即有 对于 Gauss 求积公式的收敛性, 有如下的定理 2 几种常用的Gauss型求积公式 Gauss-Legendre求积公式 Legendre多项式 是定义在区间 [-1 , 1]上, 权函数为 的正交多项式。 其标准形式为: 可以证明, Legendre 多项式有下列递推关系: 由上式可推出: 当 n 为偶数时, Legendre 多项式 Pn(x) 为偶函数; 当 n 为奇数时, Legendre 多项式 Pn(x) 为奇函数。 所以,当n =0 时,一次勒让德(Legendre)多项 式 P1( x ) = x的零点(Gauss点)x0 = 0,取其为求积节点,由 得A0 = 2。从而得到一点Gauss-Legendre 求积公式 当n = 1时,二次勒让德(Legendre)多项式 它有两个零点(Gauss点) , 取它们为求积节点,由(6.5.9)确定出A0 = A1 = 1。从而得到二点Gauss-Legendre 求积公式 常见Gauss-Legendre求积公式 一点Gauss-Legendre 求积公式 二点Gauss-Legendre 求积公式 三点Gauss-Legendre求积公式 1~5 个节点的Gauss-Legendre求积系数 (真值) n xk Ak 0 0 2 1 1 2 0 续Gauss-Legendre求积系数(真值) n xk Ak 3 4 0 对于一般的区间[a, b],可作坐标变换 得到 对上式右端的积分可采用标准Gauss-Legendre求积公式进行计算。 例 3.1 利用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分 结果保留六位小数。 , 解: 令 ,则 本章小结 数值积分的基本概念、思想与理论 数值积分公式、插值型数值积分公式、余项、代数精度、收敛阶 插值型数值积分及其数值稳定性 Newton-Cotes 公式,复化求积公式、变步长的求积公式、 Richardson外推算法与Romberg求积公式、Gauss 求积公式 复化梯形公式的推导 利用 得到 Back * * 但一般情况下,非线性代数方程组很难求解,所以我们需要其它的办法来构造数值积分公式。 下一节,就给出了一种构造方法。 应该指出此非线性代数方程组可以借助正交多项式的理论来计算,从而导出GUASS数值积分公式。见第五节。 原始数据的误差如:舍入误差,也可能是观测带来的误差 * * * * 下面讨论Gauss型求积公式的截断误差. * * * * * * 例如: 对于积分 采用变步长的梯形公式进行计算. 将区间 [ a , b] n 等分 , 步长 , 按复化梯形公式 计算时, 需调用 n +1 个函数值。 现在将 h 折半, 再将上述每个区间 [ xk , xk+1 ] 对分一次, 分点增至 2n + 1 个, 设上述小子区间的中点为 在[ xk , xk+1 ] 上用复化梯形公式并求和得 上式称为变步长的梯形公式. 即在求 T2n 时, 可以利用前面已求出的结果Tn , 剩下的仅仅需要求出 n 个新分点处的函数值. 注意:h = xk+1-xk 变步长的梯形公式的算法 Step 1. 给定精度 ? 0,m为正整数,步长h =(b - a)/2m。 即将积分区间分割成2m等份。 Step 2. 计算 这里 Step 3. 计算 这里 将每一个小子区间二等分,即步长折半。 Step 4. 如果 ,则停止,输出值 , 否则,置 m = m+1,h : = h/2 ,转到Step 3。 例2.3 用变步长的梯形公式计算积分 解: 对于 , 定义 f (0) = 1, 首先在区间 [0 , 1] 上用梯形公式(即步长 h = 1),求得 将 [0 , 1] 对分, 它的中点函数值 , 则有 如果 不成立,则 h := h/2 = 1/2 ,计算 (精确到10-6) 如此继续下去, 计算结果如下表 如果 不成立,则 h := h/2 = 1/4 , 继续计算 。 k k T 2k T 2k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.920 735 5 0.939 793 3 0.944 513 5 0.945 690 9 0.945 985 0 0.946 059 6

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