函数的极限(左右极限)1.ppt

* 一 复习引入，提出问题 回忆当x→∞、x→＋∞、x→－∞时的函数极限是如何定义的．我们可否用类似的思想和方法研究x→x0时的函数极限． ◆定义1: 一般地,当自变量x取正值并无限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极限是a. 记作： 记作： ◆定义(2): 一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a, 那么就说 当x趋向于无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作: 如果 且 ◆定义(3) ◆对于常数函数f(x)=c(x∈R), 也有 1．考察函数y=x2，当x无限趋近于2时，函数的变化趋势 (1)图象 二 考察函数，比较特征 (2)列表 x 2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 …… y=x2 6.25 4.41 4.04 4.004 4.0004 4.00004 …… 2.25 0.41 0.04 0.004 0.0004 0.00004 …… x 1.5 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 …… y=x2 2.25 3.61 3.96 3.996 3.9996 3.99996 …… 1.75 0.39 0.04 0.004 0.0004 0.00004 …… 从表格上看： 表1说明，自变量x＜2趋近于2(x→2-)时，y→4． 表2说明，自变量x＞2趋近于2(x→2+)时，y→4． 从图象上看：自变量x从左侧趋近于2(即x→2-)和从右侧趋近于2(即x→2+)时，y都趋近于4． 从差式|y－4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)． 从任何一方面看，当x无限趋近于2时，函数y＝x2的 极限是4．记作： 强调：x→2，包括分别从左、右两侧趋近于2． 即: “x→2”是指以任何方式无限趋近于2，(分别从左、右两侧或左、右两侧交替地无限趋近于2)． 2. 考察函数 （x≠1），当x无限趋近于1（但不等于1）时，函数的变化趋势 （1）图象 y=x+1 (x∈R,x≠1) (2)结论：自变量x从x轴上点x=1的左右两边无限趋近于1，函数 的值无限趋近于2. 2 1 -1 0 1 x y 强调：虽然在x＝1处没有定义，但仍有极限． 3．考察函数 ，当x无限趋近于0 时，函数的变化趋势？ (2) 结论： x从0的左边无限趋近于0时，y值无限趋近于-1 x从0的右边无限趋近于0时，y值无限趋近于1 (1)图象 此例与上两例不同，x从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x0处无极限． (1)请思考下面问题：当x→x0时，y＝f(x)在x＝x0处有定义，是不是一定有极限？y＝f(x)在x＝x0处无定义，是不是一定没有极限？ x→x0包括两层意思：x从x0的左侧趋近于x0，即x→x0-；x从x0的右侧趋近于x0，即x→x0+．是不是x→x0-和x→x0+时，f(x)会趋近于同一个常数？ (2) 归纳结果，得到： 三 整理提炼，明确概念 函数在一点处的极限与左、右极限的定义 函数在一点处的极限与左、右极限 1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限是a，记作 或当x→x0时f(x)→a。 2．当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作 。 3．如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作 。 4．常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有 . x无限趋近于常数x0，是指x从x0的左、右两侧无限地趋近于x0。 注意： （1） 中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近的函数值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关（x0可以不属于f(x)的定义域） （2） 是x从x0的两侧