学案4推理与证明.ppt

1.(1)合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.(2)合情推理的过程概括为:从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想 →归纳、类比 → 提出猜想(3)演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.(4)合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律,为我们提供证明的思路和方法.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下). (5)在数学中,证明命题的正确性都是使用演绎推理,而合情推理不能用作证明.2.(1)分析法的特点是:从未知看需知,逐步靠拢已知.(2)综合法的特点是:从已知看可知,逐步推出未知.(3)分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁;综合法从条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便于思考.实际证题时常常两法兼用,先用分析法探索证明途径,然后再用综合法叙述出来. (4)应用反证法证明数学命题,一般分下面几个步骤:第一步:分清命题“p→q”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定﹁q;第三步：由p和﹁q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定﹁q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p→q为真. 第三步所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况. 【分析】本题结论以“至少”形式出现，从正面思考 有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明. 考点5 反证法 若x,y都是正实数，且x+y＞2,求证： 或 中至少有一个成立. 【证明】假设 , 都不成立,则有 和 同时成立. 因为x＞0且y＞0，所以1+x≥2y,且1+y≥2x. 两式相加，得2+x+y≥2x+2y. 所以x+y≤2. 这与已知条件x+y＞2矛盾. 因此 , 中至少有一个成立. 【评析】 （1）当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证.反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面.反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器. （2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理;否则，将出现循环论证的错误. * * * * 学案3 推理与证明 1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理. 3.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法;了解综合法和分析法的思考过程和特点. 5.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 4.了解反证法的思考过程和特点. 推理与证明 1.推理在高考中虽然很少刻意去考查，但实际上对推理的考查无处不在.从近几年的高考题来看，大部分题目主要考查命题转换、逻辑分析和推理能力，证明题是高考中常考的题型之一. 2.综合法、分析法是证明不等式常用的方法,不等式的证明近年来高考虽然淡化了单纯的证明题，但是以能力立意的、与证明有关的综合题却频繁出现，常常与函数、数列、三角等综合，考查逻辑推理能力，是高考考查的一项重要内容. 3.反证法在高考中虽很少单独命题，但是有时运用反证法的证题思路判断、分析命题有独到之处. 4.数学归纳法作为一种重要的数学思想方法，在高考中有可能单独命题，更可能的是通过不同的形式来考查“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法. 1.由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是 、