工程数学-傅里叶积分.pptVIP

CH1_ 第一节 傅里叶积分 傅里叶级数的复数形式 傅里叶积分的引入 傅里叶积分收敛定理 四 傅里叶积分的其他形式 一 傅里叶级数的复数形式 二 傅里叶积分的引入 三 傅里叶积分收敛定理 四 傅里叶积分的其他形式 第一节 傅里叶积分 第一章 傅里叶变换 傅里叶级数收敛定理 设函数 以 为周期， 且在 上满足： 1）仅有有限个间断点，且每个间断点都是第一类的 2）仅有有限个极值点 则 的傅里叶级数 (其中 称为 的傅里叶系数) 是收敛的， 且 1）当 为连续点时，收敛到 2）当 为间断点时，收敛到 如果在 使用欧拉公式 则 可改写为 令 上面三个式子可统一写为 可表示为 式称为 傅里叶级数的复数形式。 如果将 式代入 式， 我们有 其中 ~ 符号“~”表示在 的连续点相等。 设函数 在区间 上有定义， 且在任何 一个有限区间内满足 1）仅有有限个间断点，且每个间断点是第一类的； 2）仅有有限个极值点。 令 则 利用 可知 利用如果记 上式又可以表示为 如果记 注意到 因此 可以写成 由积分的定义，上式又可以看成 ~ ~ 即 上式的右端称为函数 的傅里叶积分公式(简称傅 氏积分公式)。 式的推导是十分不严格的。 ~ 傅里叶积分收敛定理 设函数 在 上 满足下面条件 1） 在任何一个有限区间上满足狄氏条件， 即有有限个间断点且每个间断点是第一类的，有有限 个极值点； 2） 则 傅氏积分 且 是收敛的， 1）当 为连续点时，收敛到 2）当 为间断点时，收敛到 例 设 求 的傅氏积分。 解 由此可得 特别取 有 在傅里叶积分公式中， 利用欧拉公式我们有 注意到 为 的奇函数， 注意到 为 的偶函数， 因此 因此 ~ ~