差分方程基本知识.pptVIP

湘潭大学数学与计算科学学院 差分方程 一、 差分方程的基本概念 二、 一阶常系数线性差分方程 三、 差分方程在经济问题中的简单应用 当 时，(*)式左端为 次多项式，要使 (*) 式成立，则要求 故可设差分方程（8）具有形如 的特解. 前面三种情况都是差分方程（8）的特殊情形： 当 时，取 否则，取 例8（存款模型) 为 期存款总额， 利率，按年复利计息，则 与 有如下关系式： 这是关于 的一个一阶常系数齐次线性差分方程， 其中 为初始存款总额. 为存款 其通解为 设 例9（贷款模型） 设每个月应付x元 (贷款额为 元）,月利率是 第一个月应付利息为 可入住,另一半由银行以年利r贷款, 均每月付多少元？共付利息多少元？ n年付清，问平 设某房屋总价为a 元,先付一半 解 第二个月应付利息为 于是依此类推可得 这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程， 所以特征根为 ， 其对应的齐次线性差分方程的特征方程为 其对应的齐次线性差分方程的通解为 由于1 不是特征方程的根， 代入原方程，得 即 于是 故原方程的通解为 于是令特解 当 时，得 所以原方程满足初始条件的特解为 于是n年利息之和为 由于上式中 也是总利息，所以有 从而得 因此，平均每月付 元，共付利息 元. 该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面20年 例10 （筹措教育经费模型）某家庭从现在着手从每 月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女 的教育. 并计划20年后开始从投资帐户中每月支取 1000元，共计支取10年，直到子女完成学业并用完 全部资金.要实现这个投资目标，20年内共要筹措多 少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月 利率为0.5%， 10年后子女大学毕业用完全部资金. 分析 解 设从现在到20年内共要筹措 x 元资金，第n个月 每月存入资金 a 元. 同时 . 投资账户资金为In元， 也设 20 年后第 n 个月投资帐户资金为Sn 元，于是， 20 年后，关于Sn的差分方程模型为 每月向银行存入一定数量的资金，第二阶段是在 20 年后将所有资金用于子女教育，每月支取1000元， 10内用完所有资金. 并且 解方程(9)，得通解 以及 （9） 从而有 从现在到20 年内， In满足的差分方程为 (10) 解方程(10), 得通解 ， 且 以及 从而有 即要达到投资目标，20 年内要筹措资金 90073.45 元， 平均每月要存入银行 194.95 元. 在自由市场上一定注意过这样的现象：一个时期由 于猪肉的上市量你远大于需求量时，销售不畅会导 致价格下跌，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其 它农副产品.过一段时间猪肉上市量减少，供不应求 导致价格上涨，原来的饲养户觉得有利可图，又重 操旧业，这样下一个时期会重新出现供大于求, 价格 下跌的局面. 在没有外界干预的条件下，这种现象将 一直循环下，在完全自由竞争的市场体系中，这种 现象是永远不可避免的.由于商品的价格主要由需求 例11 (动态经济系统的蛛网模型) 关系来决定的，商品数量越多，意味需求量减少， 因而价格越低.而下一个时期商品的数量是由生产者 的供求关系决定，商品价格越低，生产的数量就越 少.当商品数量少到一定程度时，价格又出现反弹. 这样的需求和供给关系决定了市场经济中商品的价 格和数量必然是振荡的. 有的商品这种振荡的振幅 越来越小，最后趋于平稳，有的商品的振幅越来越 大，最后导致经济崩溃. 现以猪肉价格的变化与需求和供给关系来研究 上述振荡现象. 图4.1：蛛网模型图 个时期 (假定为一年) 猪肉的产量为 价格为 产量与价格的关系为 这种产销关系可用下述过程来描述： 设第 决定下一时期的产量， 因此 本时期的价格又 设 在图4.1中，是以产量Q和价格P 作为坐标系的横轴和 和纵轴，这种关系很象一个蜘蛛网，故称为蛛网模型. 对于蛛网模型，假定商品本期的需求量 决定于本期 即需求函数为 的价格 商品本期产量 决定于前一期的价格 即供给函数为 从而蛛网模型可以用下述联立方程式来表示： 其中 均为常数且均大于零. 蛛网模型分析了商品的产量和价格波动的三种情况. 下面只讨论一种情形：供给曲线斜率的绝对值大于需求 即当市场由于受到干扰偏离原有的 曲线斜率的绝对值. 均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下 波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡 点. 假设,在第一期由于某种外在原因的干扰,如恶劣的 减少为 气候条件，实际产量由均衡水平 曲线，消费者愿意支付 根据需求 的价格购买全部的产量 于是，实际价格上升为 .根据第一期较高的价格水平 在第二期，生产者