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数学形态学 形态学（morphology）通常代表生物学的一个分支。 研究动物和植物的形态和结构。 数学形态学（mathematical morphology）研究如何从图像中提取对于表达和描绘区域形状有用的图像分量。 如边界、骨架等等。 研究目标：通常为二值图像，也可将其算法扩展至灰度图像。 形态学技术具有较强的实用价值，如形态学过滤、细化和修剪，等等。 常常用于图像的后期处理上，如指纹识别等需经过图像分割后再进行精确定位的实际应用。 数学形态学的基本概念 数学形态学以集合论为基础，所以我们先介绍几个集合论的基本概念及其在图像中的体现： 1、元素 如果a=(a1,a2)是集合A的元素，则表示为： 反之表示为 图像中它们体现为点与区域的关系： 2、如果集合A的每个元素又是另一个集合B的元素，则A称为B的子集，表示为： 3、两个集合A和B的并集表示为： 4、两个集合A和B的交集表示为： 5、如果集合A和B没有共同元素，则它们称为不相容或互斥的： 6、集合A的补集是不包含集合A的所有元素组成的集合： 7、集合A和B的差，表示为A-B，定义为： 我们还需定义两个广泛应用于形态学的附加定义，通常它们在集合论中无法找到： 1、集合B的反射，表示为 ，定义为 集合A平移到点z=(z1,z2)，表示为(A)z，定义为： 二值图像的逻辑运算 逻辑运算对于以形态学为基础的图像处理算法是一种有力的补充手段。 图像处理中常用的逻辑运算为：与、或和非（求补）。 两副或多副图像的逻辑运算，是对它们对应像素之间进行逻辑运算来完成（除了“非”运算，此运算只对单一图像的像素进行）。 膨胀与腐蚀 膨胀与腐蚀是数学形态学中最古老的两种运算。 后面将要讨论的多种形态学算法都是以这两种运算为基础的。 膨胀 A和B是Z2中的集合，A被B膨胀定义为： 这个公式是以集合B相对原点的映像并且由z对映像的位移为基础的。 A被B膨胀是所有位移z的集合。 B的映像至少和A有一个元素是重叠的。 以上并不是唯一对膨胀的定义形式。 把结构元素B看作是一个卷积模板时，其定义形式比其它定义形式更为直观。这是它区别于其它定义形式的突出优点。 尽管膨胀是以集合运算为基础，而卷积是以算术运算为基础，但相对于B的原点对B进行翻转，而后逐步移动B以便B能滑过集合A，这一基本过程与卷积过程是相似的。 腐蚀 集合B对集合A的腐蚀，用 表示，其定义为： 这个公式说明，使用B对A进行腐蚀是所有B中包含于A中的点的平移z 的集合。 膨胀和腐蚀对于集合求补运算和反射运算是彼此对偶的（证明略）： 这说明了形态学表达式的有效性。 开操作与闭操作 开操作与闭操作是形态学中重要的两种操作。 开操作一般使对象的轮廓变得光滑。断开狭窄的间断和消除细的突出物。 闭操作同样使对象轮廓更光滑，但与开操作相反的是，它通常弥合狭窄的间断和长细的鸿沟，消除小的空洞，并填补轮廓线中的断裂。 使用结构元素B对集合A进行开操作，表示为 ，定义为： 即：使用B对集合A腐蚀，然后再用B对结果进行膨胀。 开操作有一个简单的几何解释： 假设我们将结构元素B看作一个圆饼。 的边界通过B中的点完成，即B在A的边界内转动时，B中的点所能到达的A的边界的最远点。 使用结构元素B对集合A的闭操作，表示为 ，定义如下： 腐蚀公式说明，使用结构元素B对结合A的闭操作就是用B对A进行膨胀，而后用B对结果进行腐蚀。 闭操作有与开操作相似的几何解释： 假设我们将结构元素B看作一个圆饼。 的边界通过B中的点完成，即B在A的边界外转动时，B中的点所能到达的A的边界的最远点。 同膨胀和腐蚀一样，开操作和闭操作也是一对关于集合求补及映像的对偶操作（证明略）： 击中或击不中变换 形态学上，击中或击不中变换是形状检测的基本工具。 即给出一预定对象，相如何在一幅图像中找到与之符合的目标及位置。 在集合A中对集合B的匹配表示为A B，其定义为： A B 其中W是一个比B大的小窗口。 根据上面例子，我们令B1=X , B2=(W-X)，对A B提出一种更为广义的表达方式： A B B1在A内找匹配，B2在A的补集中找匹配。 根据腐蚀与膨胀的对偶关系，我们可将上式写为： A B 我们将以上3个公式称为形态学上的击中或击不中变换。 使用与对象有关的结构元素B1和与背景有关的B2的原因是基于以下假设，即：只有在两个或更多对象构成彼此不相交（不连通）的集合时，这些对象才是可区分的。 要保证