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浅论数学解题中培养学生的类比思想 吴江市松陵高级中学 张赞 215200 摘要 类比是启发人们联想的思维工具，是创造性思维的一种形式。本文从五个方面来说明其在解题中的应用，通过类比激发学生参与发现的兴趣。 关键词：类比;应用;能力;兴趣 引 言 类比思想, 是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相同或相似而推出它们在其他方面也可能相同或相似的一种逻辑思维方法.它是高中数学重要的思想方法之一。 哲学家康德说过:“每当理智缺乏可靠论证的思路时,类比这个方法往往可以指引我们前进。”类比法是从旧知识推出新知识的一种思考方法也是探究新方法的一条有效途径，更可以培养学生的创新意识，提高认识问题和解决问题的能力, 但可通过观察, 凭借结构上的相似性等寻找类比问题,然后可通过适当的代换, 将原问题转化为类比问题来解决。}中，若，则有等式（n19,）成立，类比上述性质,相应的：在等比数列{}中，若=1，则有等式 成立。 (2000年上海高考) 分析：设等差数列{}的公差为d，则，，，而 ，，，所以到恰好是关于成负对称。因此有等式，（n19,）成立。 在等比数列{}中类比，设公比为，因为，则，，，…，而恰好与，与与是互为倒数，不难得到，（n17,） 【例1.1.2】（椭圆与双曲线类比） 设分别为椭圆C : = 1 ( a b 0) 的左右焦点。：M , N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上 任意一点, 当直线PM , PN 的斜率都存在,并记为，那么与之积是与点P 位置无关的定值. 试对双曲线=1 写出具有类似特性的性质,并加以证明。(2003 年上海春招) 分析：：M , N 是双曲线：= 1 上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM , PN 的斜率都存在, 并记为时, 那么与之积是与点P 位置无关的定值。M 的坐标为( m , n) ,则点N 的坐标为( - m , - n) , 其中= 1。P 的坐标为( x , y ) , 由， 得 将代入上式得 1．2非同类之间的结构类比 【例1.2.1】设f ( x ) =,利用课本上推导等差数列前n 项和的公式的方法,可求得 f ( - 5) + f ( - 4) + …+f (0) + …+ f (5) + f (6) 的值为_______。( 2003 年上海春招) 分析：本题是数列求和与函数求值类比，即是非同类的类比。由题设利用等差数列求和的方法,即，又，由两式相加，并利用，可求得等差数列前n 项之和。 类比，令S = f ( - 5) + f ( - 4) + …+ f (0) + …+ f (5) + f (6) , 又S = f (6) +f (5) + …+ f (0) + …+ f ( - 4) + f ( - 5) , 将两式相加， 并由计算得到f ( 0 ) + f ( 1 ) = f ( - 1) + f ( 2) = = f (-5) + f (6) = ∴2 S = 12 [ f ( 0) + f (1) ] = 即S= ,故填 二、 简化类比,培养思维的灵活性 简化类比, 就是将原命题类比到比原命题简单的类似命题, 通过类比命题的解决思路和方法的启发,寻求原命题解决思路与方法. 比如可先将多元问题类比为一元或二元问题, 高次问题类比到低次问题, 普遍问题类比为特殊问题等,这样可以沟通数学知识、数学方法之间的联系,激活学生的思维,有利于培养学生思维的灵活性. 【例2.1】如果空间有n 个平面, 其中任何3 个平面至少有1 个公共点, 任何3 个平面不共一直线, 任何4个平面不共有同一点,那么这n 个平面能够把空间分成几个部分? 分析：n 条直线, 其中任何2 条直线不会互相平行, 任何3 条直线不相交于同一点,那么这n 条直线能够把平面分成几个部分?分1 条、2 条、3 条、?直线的个别情况, 运用归纳 推理,有：k = 1 , f (1) = f (0) + 1 = 1 + 1 = 2 ; k = 2 , f (2) = f (1) + 2 = 2 + 2 = 4 ; k = 3 , f (3) = f (2) + 3 = 4 + 3 = 7 ; k = 4 , f (4) = f (3) + 4 = 7 + 4 = 11 ; ; 推测k = n , f ( n) = f ( n - 1) + n. 将以上几个式子相加,得 f ( n) = f (0) + (1 + 2 + 3 + …+ n) = 1 +n ( n+ 1) ( n ∈N) . 即平面内符合题意的n 条直线将该平面分成1+n ( n + 1) 个部分。 将“立体问题”退化为“平面问题”,在“立体问题”与“平面问题”的类比中得到启发,并