加权残数法课件.ppt

计算结构力学 加权残数法 3.1基本原理及发展概况 3.2加权残数法分类 3.3伽辽金法的应用 3.4最小二乘法的应用 3.1基本原理及发展概况 3.1.1基本原理 试探函数 3.1基本原理与发展概况 3.1.2发展概况 基本思想在19世纪初提出 1920年代用于求解微分方程 1950年代crandall统一命名为“加权残数/余量法” 1970年代前主要应用于计算流体力学、空气动力学、热传导等 1970年末，徐次达教授引入国内并应用于固体力学 3.2加权残数法分类 3.2.1按试函数分类 3.2加权残数法分类（续） 3.2.2按权函数分类（以内部法为例） 1.子域法 1、子域法（续） 例3-1： 取两个子域，即m=2 2、配点法（the collocation method） 配点法的权函数 3、最小二乘法（least squares method） 基本思想-----使残值平方和I最小。 （1）连续型最小二乘法 （2）离散型最小二乘法 4.矩量法（Method of Moment） 权函数： 加权积分式： 理论依据：有限矩阵定理： 若连续函数f(x)在有限区间[a,b]上满足 则f(x)在[a,b]上至少变号n次。 显然，当n→∞时，f(x)→0 例3-1【解】取权函数为1，x,可得： 解得： 5.伽辽金法（Galerkin Method） 选： ——满足边界条件 基函数——线性无关 取权函数 加权积分式： 例3-1.【解】取试函数： 残值： 3.3伽辽金（Galerkin ）法的应用 3.3.1 Galerkin法解一维问题 例3-2 简支梁受均布荷载，求弹性挠曲线。 微分方程： 边界条件： 例3-2（续） Galerkin方程组： 3.3.2 Galerkin法解矩形薄板弯曲问题 例3-3 周边固支矩形薄板弯曲问题 D 2a A x 微分方程： 2b C B 边界条件： y ————满足对称性，满足边界条件 3.4 最小二乘法的应用 * 代入 微分方程 边界条件 域内残值： 边界残值： 令 加权积分=0 关于 代数方程组 域内权函数 边界权函数 解方程 U近似解 试函数：多项式、三角函数、样条函数等 按试函数分类 内部法——试函数满足边界条件 边界法——试函数满足微分方程 混合法——试函数不满足微分方程、边界条件 内部法： 边界法： 混合法： ——实际分析中尽可能采用内部法或边界法 (j=1,2,……m) (j=1,2,……m) (j=1,2,……m) 按权函数分类 子域法 配点法 最小二乘法 矩量法 伽辽金法 在求解域V中取m个子域 （j=1,2，….,m) 使 权函数 1， 0， M个线性代数方程：[A]{ }={b} 例3-1 微分方程： 边界条件： 求u的近似表达式 解：采用内部法——选取满足边界条件的试函数 取用前两项： 残值： 0 0.25 0.5 0.75