动力系统建模课件.ppt

动力系统建模唐 云（清华大学数学科学系）ytang@math.tsinghua.edu.cn 目 录 引言 1。动力系统的基本概念与方法：从蝴蝶泉到蝴蝶效应 2。机械与电力系统中的数学模型 3。生命科学的数学建模 4。分形模型 引言 动力系统是关于系统演化规律的数学学科。数学建模是连接动力系统理论与应用的桥梁。 特点：（1）广泛的应用前景；（2）深刻的数学理论基础；（3）计算技术。 动力系统建模作用：（1）教学：数学建模；（2）科学研究：与国民经济及科学前沿关系密切。 从蝴蝶泉到蝴蝶效应1.1 蝴蝶的生态问题 云南大理蝴蝶泉，是影片《五朵金花》里阿鹏和金花对歌的地方，也有名的游览胜地。泉内蝴蝶种类繁多，每年农历4月15日白族的“蝴蝶会”前后，蝴蝶大的大如巴掌，小的小如蜜蜂，成串悬挂于泉边的合欢树上，盛况空前。明代徐霞客在其“游记”中称：“真蝶万千，连须钩足，自树巅倒悬而下及于泉面”。郭沫若在1961年游蝴蝶泉时也曾留下“首尾联接数公尺，自树下垂疑花序”的诗句。 令人惋惜的是，近十数年，人们已经很难看到美丽的蝴蝶盛会，有时，虽有蝴蝶聚集，但数量已少。据当地父老传言：蝴蝶泉边，原有一蓬枝叶茂密、开白花、发清香的茨蓬，花枝缠在横斜泉面的树干上，蝴蝶沿着这些下垂的花枝连成串。如今，茨蓬已除，泉面树干叶枯，加上周围自然环境受到破坏，田野大量使用农药，误伤不少蝴蝶，那连须钩足悬于泉面的奇观，久已不见。 1.2 数学模型: Logistic映射 Logistic映射 Logistic映射分岔图 关于吸引子 吸引子是动力系统相空间中的一类特殊集合，它能把周围的轨道都“吸引”（收敛）过来。 吸引子分类： （1）平衡点 （2）周期轨 （3）拟周期轨 （4）混沌吸引子 数值迭代：倍周期分岔 混沌的特点 图像方法：蛛网迭代 1.3 关于“蝴蝶效应” 1961年冬天E. Lorenz 进行关于天气预报的计算。他考虑下面加热的流体由热传导进入对流，然后产生湍流的过程， 对Rayleigh-Bernard方程进行约化，得到下面的Lorenz方程。 Lorenz 方程 和 为正数. , , 和 与流体的物理性质相关. Lorenz 取 , , 和 . Lorenz 吸引子 对初值条件的敏感依赖性 10,000 个几乎相同的初值条件 从这10,000 个初值出发的每条轨道经过同样时间后其终点很不一致. 这些点都在同一个吸引子范围内. 所谓“蝴蝶效应”是指： 初始值很小的改变会引起绝然不同的结果. 巴西的一只蝴蝶扇动翅膀会引起明年在得克萨斯的大风暴吗？E. Lorenz??  关于混沌 一个动力系统是混沌的，如果它满足： (1) 有一个由周期轨道组成的稠密集合； (2) 轨道敏感地依赖于其初值条件； (3) 为拓扑传递的. 混沌的度量性质： (1)正Lyapunov指数 (2)拓扑熵与测度熵 (3)分形结构 2. 机械和电力系统的数学模型2.1 动力学模型 Newton力学体系是第一个，也是最基本的动力系统数学模型。建模过程： （1）数据积累：第谷(Tycho Brahe, 1546-1601) （2）经验公式：开普勒(J. Kepler, 1571-1630)的行星“三大定律”。 （3）数学模型：牛顿(I. Newton, 1642-1727)的“万有引力”。 （4）验证：如哈雷彗星和海王星的发现。 非线性振动 Duffing 方程 极限环与分岔 阻尼单摆的强迫振荡 2.3 关于电力系统的数学模型 电力工业是国民经济的支柱产业，并且直接影响到 人民的生活。 我国电力工业发展迅速： 重大停电事故 北美东部大停电 2003年8月14日下午3时许，俄亥俄州北部34.5万伏超高压突然发生故障。一小时内波及包括纽约和多伦多在内的美加东中部大停电，5000万人陷入黑暗之中。至16日10时基本恢复正常。 估计经济损失每天达300亿美元。 　　这两张卫星照片分别显示了美国和加拿大部分地区当地时间8月13日晚9时21分（左），及14日9时03分的夜间光亮强度，从中可以看出停电前后这一地区的夜间照明情况的差异。美国东部时间１４日下午，美国东北部和加拿大部分地区发生大面积停电，波及美加两国的许多城市，给当地交通、通信和居民的生活造成严重影响。纽约市目前已有８５％的地区恢复了电力供应。 电力系统的数学模型 微分代数方程 DAE(Differential-Algebraic Equation) 关于DAE的稳定性与分岔 考虑DAE 单机无穷大系统SMIB 分