§13.3数学归纳法.docx

§13.3　数学归纳法 数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　×　) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　×　) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　×　) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　×　) (5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　√　) (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(　√　) 1．若f(n)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,6n－1)(n∈N*)，则f(1)为(　　) A．1 B.eq \f(1,5) C．1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,5) D．非以上答案 答案　C 解析　等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C. 2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为eq \f(1,2)n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案　C 解析　凸n边形边数最小时是三角形， 故第一步检验n＝3. 3．设Sn＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n)，则Sn＋1－Sn＝____________________. 答案　eq \f(1,2n＋1)＋eq \f(1,2n＋2)＋eq \f(1,2n＋3)＋…＋eq \f(1,2n＋2n) 解析　∵Sn＋1＝1＋eq \f(1,2)＋…＋eq \f(1,2n)＋eq \f(1,2n＋1)＋…＋eq \f(1,2n＋2n)， Sn＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n)， ∴Sn＋1－Sn＝eq \f(1,2n＋1)＋eq \f(1,2n＋2)＋eq \f(1,2n＋3)＋…＋eq \f(1,2n＋2n). 4．设f(n)＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,n＋n)，n∈N*，那么f(n＋1)－f(n)＝________. 答案　eq \f(1,2n＋1)－eq \f(1,2n＋2) 解析　f(n＋1)－f(n)＝eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,n＋n)＋eq \f(1,n＋1＋n)＋eq \f(1,n＋1＋n＋1)－(eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,n＋n))＝eq \f(1,2n＋1)＋eq \f(1,2n＋2)－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(1,2n＋1)－eq \f(1,2n＋2). 题型一　用数学归纳法证明等式 例1　求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)． 思维点拨　n从k变到k＋1，左边增乘了2(2k＋1)． 证明　①当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时， 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)， 这就是说当n＝k＋1时等式也成立． 由①②可知，对所有n∈N*等式成立． 思维升华　用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立． (2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法． 　用数