华中师范大学量子力学2014–2015学年第一学期A.doc

第 1 页(共 4 页) 第 2 页(共 4 页) 第 3 页(共 4 页) 第 4 页(共 4 页) 院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 华中师范大学 2014 –2015 学年第一学期 期末考试试卷（A） 课程名称 量子力学 课程编号 任课教师 题型 填空题 判断题 简答题 证明题 计算题 总分 分值 20 10 20 16 34 100 得分 得分 评阅人 一、填空题：（共10题，每题2分，共20分） 若某种光的波长为，则其光子的能量为 ，动量大小为 。 戴维逊—革末实验主要表现出电子具有 波动性 。 若是归一化的波函数，则表示 t时刻x附近dx体积元内发现粒子的概率 。 设力学量算符与不对易，且其对易子为，则它们的不确定性关系为 。 厄米算符在自身表象是 对角 矩阵。 从量子力学的观点看，氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道上的运动，而是电子云的图像，电子云是 电子电荷在核外的概率分布 。 设氢原子处于态，求氢原子的角动量分量的平均值 。 证明电子具有自旋的实验是 钠黄线的精细结构 / 复杂塞曼效应 / 斯特恩-盖拉赫实验 。 得分 评阅人 五、计算题：（共3题，共34分） 质量为的一维谐振子的基态波函数为，其中，求粒子出现在经典禁区的概率。（10分） （积分公式：） 解：谐振子的能量表达式，因经典粒子的动能必小于等于总能量，其转折点（动能为零的点）满足，得。 对于基态，，转折点，经典禁区为。量子谐振子出现在经典禁区的概率为 在经典禁区，粒子出现的概率不为零，对于基态，在经典禁区出现的概率为15.4%。 2. 证明处于1s，2p和3d态的氢原子，分别在，和的球壳内发现电子的概率最大。（提示：氢原子波函数，其中，，。（8分） 证明：球壳内发现电子的概率（利用球函数的归一性，径向波函数是实函数） 得1s态，2p态和3d态的径向概率密度为 概率密度的极值由一阶偏导数为零得出，即 得； 得； 得。证毕。 得分 评阅人 四、证明题：（共2题，每题8分，共16分） 1. 用狄拉克符号证明： 厄米算符的本征值是实数； 厄米算符不同本征值的本征矢互相正交（非简并情形）。（8分） 证明：（1）设，其本征值方程为 ① 用本征矢的共轭矢量左乘上式，得到 ② 对上式取共轭，得 ③ 利用厄米算符的定义，得出②式与③式相等，即 （2）厄米算符的本征值方程记为 ，用左乘前式，用左乘后式，得 ④ ⑤ ④式取共轭得 ⑥ ⑤式与⑥式相减，左边为零，得 而，则，证毕。 简述玻尔的量子论，并对它进行简单的评价。 答：为了解释原子稳定性的问题和光谱的线状谱，玻尔的