《线性代数》电子3(行列式按行(列)展开).ppt

行列式按行（列）展开法则 2. 余子式和代数余子式 3. 展开法则 4.行列式的计算（2） 5.代数余子式的性质 6.小结 一、克莱默法则 二、有关结论 三、小结 第一章 总结 行列式的等价定义 思考题： * * 《线 性 代 数》 电子教案之三 第六节 行列式按行（列）展开 1. 定理的引入 这表明三阶行列式可以按第一行的元素写成3个 行列式的和.类似地，可以按照其他行（列）写成 3个行列式的和.对于一般的行列式也有如此结果. 为此,先介绍两个概念. 注： 　　 在　阶行列式中，把　　元　所在的第 行 和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做 元 的余子式，记作　　； 记 叫做 元 的代数余子式. 例如 中 元 的余子式和代数余 子式分别为 定义 说明 (1)对于给定的 阶行列式 ， 元 的余子式 和代数余子式 仅与位置 有关，而与中第 行、第 列元素的数值大小和正负无关. (2)它们的联系是 ，因而当 为偶数时，二者相同；当 为奇数时，二者相反. 定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即 或 例如 说明 此定理叫做行列式按行（列)展开法则， 利用这个法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算. 按照第二行展开 再如 证明 例8 计算行列式 解 推论 行列式某一行（列）的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即 或 证明 （1）综合定理3及其推论，有关于代数余子 式的重要性质： 关于行 关于列 其中 是一个比较常用的符号. 总结 行列式按行（列）展开，是将 阶行列式将为 阶行列式，在计算行列式时不仅有用，而 且在理论上也是很重要的. 代数余子式（余子式）与元素的大小以及正负 无关，仅与元素的位置有关. 第七节 克莱默法则 1. 法则的引入 如果三元线性方程组 的系数行列式 则三元线性方程组的解为: 当常数项 不全为零时，线性方程组 叫做非齐次线性方程组；当 全为零 时，线性方程组 叫做齐次线性方程组.即 一定是 的解，这个解叫做 齐次线性方程组的零解，如果一组不全为零的 数是 的解，则叫做齐次方程组的非零解. 其中 是把系数行列式 中第 列 的元素用方程组右端的常数项的代替后得到的 阶 行列式，即 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 那么，线性方程组 有唯一解 2. 克莱默法则 定理4 如果线性方程组(1)系数行列式 ，则 (1)一定有解，且解是唯一的. 这就是克莱默法则 定理4 如果线性方程组(1) 无解或有两个不同的解，则 它的系数行列式必为零. 定理4的逆否定理 对于齐次线性方程组，当它有非零解时，它的解 不唯一；当它的解唯一时，它只有零解.因此 定理5 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 则齐次线性方程组(2)没有非零解（只有零解）. 定理5 如果齐次线性方程组(2) 有非零解，则它 的系数行列式必为零. 例12 问 取何值时，齐次线性方程组 有非零解. 解 析：题目要求讨论齐次线性方程组有非零解 的条件，这是一个方程个数和未知元数相等的齐次线性方程组，可以根据定理5 ，由它的系数行列式得到所求的条件. 因此 由定理5 知，若所给齐次线性方程组有非零解， 则 ，所以 不难验证当 时，所给的齐次方程组的确有非零解 克莱默法则是用计算机计算线性方程组依据， 特别是求一组系数不变，常数项不同的线性方 程组的解. 方程个数和未知元个数相同的齐次线性方程组 的系数行列式等于零，是齐次线性方程组有非 零解的必要条件，在后面的章节中，将证明这 个条件也是充分的. 本章的重点是行列式的计算； 行列式的性质，其证明过程只需了解其思路； 掌握行列式的三类基本运算； 克莱默法则、齐次线性方程组有非零解的条件. 代数余子式及其性质； 阶行列式的定义，