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【创新设计】2015-2016学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课时作业新人教A版选修1-2课案
2.2.2 反证法
明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.
1.定义:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这种证明方法叫做反证法.
2.反证法常见的矛盾类型:反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
[情境导学]
王戎小时候,爱和小朋友在路上玩耍.一天,他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,独有王戎没动,等到小朋友们摘了李子一尝,原来是苦的!他们都问王戎:“你怎么知道李子是苦的呢?”王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的.”
这就是著名的“道旁苦李”的故事.王戎的论述,运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法.
探究点一 反证法的概念
思考1 通过情境导学得上述方法的一般模式是什么?
答 (1)假设原命题不成立(提出原命题的否定,即“李子苦”),
(2)以此为条件,经过正确的推理,最后得出一个结论(“早被路人摘光了”),
(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法称为反证法.
思考2 反证法证明的关键是经过推理论证,得出矛盾.反证法引出的矛盾有几种情况?
答 (1)与原题中的条件矛盾;
(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾;
(3)与假设矛盾.
思考3 反证法主要适用于什么情形?
答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;
②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形.
探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论
例1 已知直线a,b和平面α,如果aα,bα,且a∥b,求证:a∥α.
证明 因为a∥b,
所以经过直线a,b确定一个平面β.
因为aα,
而aβ,
所以α与β是两个不同的平面.
因为bα,
且bβ,
所以α∩β=b.
下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点.
假设直线a与平面α有公共点P,如图所示,
则P∈α∩β=b,
即点P是直线a与b的公共点,
这与a∥b矛盾.
所以a∥α.
反思与感悟 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实,它们的判定方法极少,宜用反证法证明.正难则反是运用反证法的常见思路,即一个命题的结论如果难以直接证明时,可考虑用反证法.
跟踪训练 如图,已知a∥b,a∩平面α=A.
求证:直线b与平面α必相交.
证明 假设b与平面α不相交,
即bα或b∥α.
①若bα,
因为b∥a,aα,所以a∥α,
这与a∩α=A相矛盾;
②如图所示,如果b∥α,
则a,b确定平面β.
显然α与β相交,
设α∩β=c,因为b∥α,
所以b∥c.又a∥b,
从而a∥c,且aα,cα,
则a∥α,这与a∩α=A相矛盾.
由①②知,假设不成立,
故直线b与平面α必相交.
探究点三 用反证法证明否定性命题
例 求证:不是有理数.
证明 假设是有理数.于是,存在互质的正整数m,n,
使得=,从而有m=n,因此m2=2n2,
所以m为偶数.于是可设m=2k(k是正整数),从而有
4k2=2n2,即n2=2k2,所以n也为偶数.这与m,n互质矛盾.
由上述矛盾可知假设错误,从而不是有理数.
反思与感悟 当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时,由于此类问题的反面比较具体,适于应用反证法.
跟踪训练2 已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:,,不成等差数列.
证明 假设,,成等差数列,则
+=2,即a+c+2=4b,
而b2=ac,即b=,∴a+c+2=4,
∴(-)2=0.即=,
从而a=b=c,与a,b,c不成等差数列矛盾,
故,,不成等差数列.
探究点四 含至多、至少、唯一型命题的证明
例 若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,那么方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根.
证明 假设方程f(x)=0在区间[a,b]上至少有两个实根,设α、β为其中的两个实根.因为α≠β ,不妨设αβ,又因为函数f(x)在[a,b]上是增函数,所以f(α)f(β).这与假设f(α)=0=f(β)矛盾,所以方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根.
反思与感悟 当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时,常用反证法来证明,用反证法证明时,注意准确写出命题的假设.
跟踪训练3 若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证:a、b、c中至少有一个大于0.
证明 假设a,b,c都不大于0,即a≤
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