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【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.3 数学归纳法 理 数学归纳法 一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，有数学归纳法公理： (1)如果当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确； (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时命题也正确． 那么，命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　×　) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　×　) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　×　) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　×　) (5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　√　) (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(　√　) 1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是__________． 答案　1＋a＋a2 2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n＝________. 答案　3 解析　凸n边形边数最小时是三角形， 故第一步检验n＝3. 3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则下列说法正确的有________． ①f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋； ②f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋； ③f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋； ④f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋. 答案　④ 4．设Sn＝1＋＋＋＋…＋，则Sn＋1－Sn＝____________________________. 答案　＋＋＋…＋ 解析　∵Sn＋1＝1＋＋…＋＋＋…＋， Sn＝1＋＋＋＋…＋， ∴Sn＋1－Sn＝＋＋＋…＋. 5．(教材改编)已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________. 答案　3　4　5　n＋1 题型一　用数学归纳法证明等式 例1　用数学归纳法证明： ＋＋＋…＋＝ (n∈N*)． 证明　(1)当n＝1时， 左边＝＝， 右边＝＝， 左边＝右边，所以等式成立． (2)假设n＝k (k∈N*)时等式成立，即有 ＋＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝. 所以当n＝k＋1时，等式也成立， 由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式恒成立． 思维升华　用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立． (2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法． 　求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)． 证明　(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时， 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)， 所以当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立． 题型二　用数学归纳法证明不等式 例2　已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈[，]时，f(x)≥. (1)求a的值； (2)设0a1，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an. (1)解　由题意， 知f(x)＝ax－x2＝－(x－)2＋. 又f(x)max≤，所以f()＝≤. 所以a2≤1. 又x∈[，]时，f(x)≥， 所以即 解得a≥1. 又因为a2≤1，所以a＝1. (2)证明　用数学归纳法证明： ①当n＝1时，0a1，显然结论成立． 因为当x∈(0，)时，0f(x)≤， 所以0a2＝f(a1)≤. 故n＝2时，原不等式也成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式0ak成立． 由(1)知a＝1，f(x)＝x－x2， 因为f(x)＝x－x2的对称轴为直线x＝， 所以当x∈(0，]时，f(x)为增函数． 所以由0ak≤，得0f(ak)f()． 于是，0ak＋1＝f(ak)－