一轮复习配套讲义：第3篇第6讲正弦定理和余弦定理课案.doc

第6讲　正弦定理和余弦定理 [必威体育精装版考纲] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 知 识 梳 理 1．正弦定理和余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R(R为ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)ab∶c＝sin Asin B∶sin C cos A＝；cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为ABC内切圆半径)． 辨 析 感 悟 1．三角形中关系的判断 (1)在ABC中，sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B.(×) (2)(教材练习改编)在ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A＝60°或120°.(√) 2．解三角形 (3)在ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝.(√) (4)(教材习题改编)在ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝，则b＝6.(√) 3．三角形形状的判断 (5)在ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则此三角形是钝角三角形．(√) (6)在ABC中，若b2＋c2＞a2，则此三角形是锐角三角形．(×) [感悟·提升] 1．一条规律　在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，A＞Ba＞bsin A＞sin B，如(1)． 2．判断三角形形状的两种途径　一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 学生用书第63页 考点一　利用正弦、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2013·湖南卷)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　A. B. C. D. (2)(2014·杭州模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝4，B＝45°，则sin C＝______. 解析　(1)在ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝sin B， B为ABC的内角，sin B≠0. ∴sin A＝.又ABC为锐角三角形， A∈，A＝. (2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8×＝25，即b＝5. 所以sin C＝＝＝. 答案　(1)A　(2) 规律方法 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 【训练1】 (1)在ABC中，a＝2，c＝2，A＝60°，则C＝(　　)． A．30° B．45° C．45°或135° D．60° (2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝(　　)． A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　(1)由正弦定理，得＝， 解得：sin C＝，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°. (2)sin C＝2sin B，由正弦定理，得c＝2b， cos A＝＝＝＝， 又A为三角形的内角，A＝30°. 答案　(1)B　(2)A 考点二　判断三角形的形状 【例2】 (2014·临沂一模)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大小； (2)若sin B＋sin C＝，试判断ABC的形状． 解　(1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， cos A＝＝，A＝60°. (2)A＋B＋C＝180°，B＋C＝180°－60°＝120°. 由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B)＝，