朱志刚的教学讲义6.docVIP

7 变换（Transform） (Orthogonal Transform : From Space to frequency domain) 问题： 任何一幅图象皆可表示成一组固定图象的加权和？ 每一个点： 整幅图： ；符合什么样的条件？ M=？ 例子： 含义：4维空间坐标轴（基向量） 含义：I在对应坐标轴的投影（值） 要求： 一幅2D图象通过首尾相接维向量。 1D正交变换 原理 ，， 基向量 令 用N个N维基向量的线性组合表示一个N维向量。 问题： 基向量是否存在？是什么？ 如何求系数，或向量 令矩阵 矩阵表示： 若可逆，即存在，则 若为酉矩阵（A为实数阵时称为正交），即，则V=AU 或 为U在第u个基向量上的投影。 （2）性质（p37） 酉变换是能量守恒的变换 酉变换只是向量U在N维空间中简单的旋转 大部分讨论的酉变换具有能量集中的特性 Fourier变换 基向量 变换核 用F(u)表示，则逆变换和正变换分别为： 证明： Fourier 变换为酉变换，即，其中为变换核矩阵。 基向量，正交 含义：为不同频率的简谐波，u代表频率 书上P34页其它变换基向量 2D正交变换 一维推广到2D 正： 反： 原图象 变换图象 正交变换核 可分离酉变换 这里假设为对称、可分离酉变换 基本图象Basis Image(可分离情况下) 变换矩阵由1D基向量组成： 基本图象： 变换系数：U在上的投影 原图象U为N?N个基本图象的线性组合： P37 每幅有8?8个小图象，（8?8） P36页例子 例：已知正交矩阵A和原图象U为： ， 因为 计算的外积可得基本图象，如 同理有 则反变换为 用基本图象的线性组合亦可得到原图象 2D Fourier变换。 基本图象： 旋转 相似性：一维时，若 二维时， 旋转：如果f(x,y)旋转一个角度?，则f(x,y)的谱也旋转 相同的角度 令 则 Hilbert空间中的正交变换 信号x(n)的范数(norm) 表示信号的能量 信号的内积 则称X和Y 正交 一线性空间引入了范数，则称该空间为赋范线性空间，在此基础上定义内积，则该空间称为内积空间（Hilbert空间）算子A将X向量变换成Y Y=AX (1) 则称A定义了一个变换，若A是线性算子，则上式（1）是线性变换。 如果A将X变换为Y后，其范数保持不变，即 则算子A是正交变换。 如果X和Y都是N?1的向量，（1）中算子A是N?N的变换矩阵。对于正交变换，A是正交矩阵，则有 对一个实对称矩阵C，则为有正交阵A存在，使得 （2） 式中是矩阵C的特征值。 ——A的列向量，是相对特征值的特征向量， （3） 并且 （4） 即A的列向量是归一，正交的 正交变换的主要优点： 是线性变换，变换前后信号的能量不变。 若称由X到Y为正变换，则由Y到X反变换必然存在 （3），计算简单。 正交阵A把实对称阵C变为简单的对角阵，可用语压缩处理。 正交变换的分类 ?非正弦类正交变换： Walsh-Hadamard(WHT), Haar变换（HRT），斜变换（SLT） ?正弦类正交变换： 离散Fourier(DFT),离散余弦（DCT），K-L变换。 Karhumen—Loeve(K-L)变换 信号向量 变换后向量 Y：（1）Y 的各分量之间完全去掉相关性。 （2）Y对X近似的均方误差最小。 一个宽平稳的实随机向量X， 其协方差矩阵定义为： （6） 其中表示求均值， 是信号X的均值向量，其元素 是实对称，体现了X各分量的相关性。 K-L变换：寻求正交矩阵A，使得A对X的变换Y的协方差矩阵为对角阵。 步骤： 由的N阶多项式，求矩阵的特征值 由（3）式求的N个特征向量 将归一化，即向 由归一化向量可构成归一化正交矩阵A 由Y=AX实现对信号X的K-L变换。 ?Y的协方差为对角阵，即 （7） 证：由协方差定义 正交阵A的列向量是的特征向量，由（2）。证毕。 设：X，Y都是N维向量，矩阵A是N?N的正交阵，将A写成 （8） 所以，K-L变换可看成对X向量作K-L展开，其基向量是。 如作压缩，舍去y(n)中的一部分分量，取前m项，。 （9） 对X近似的均方误差 （10） K-L变换可重新解释为：给定一个随机信号向量 ，寻求一组基向量使得按（9）对X截短以后的均方误差为最小。 ?按上述原则求使最小的基向量，及达到最小的 假定是正交的即则 如X已除去均值，由（6），有则 （11） 在归一化正交的约束下，使用拉格朗日（LaGrange）条件极值法。 由此式得 （12） 其中为LaGrange算子，I是N?N单位阵