猜想、证明、拓广课件（PPT 21页）.ppt

课题学习 挑战“自我” 猜想,证明与拓广 1.任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍? 挑战“自我” 解:设给定的正方形边长为a,则其面积是a2. 挑战“自我” 猜想,证明与拓广 任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍? 挑战“自我” 由特殊到一般 解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2. 挑战“自我” (1)从周长是12出发,看面积是否是4; 如果设所求矩形的长为x,那么它宽为6-x,其面积为x(6-x).根据题意,得 x(6-x)=4. 即 x2-6x+4=0. 如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在. 解这个方程得: 挑战“自我” (2)从面积是4出发,看周长是否是12. 解:如果设所求矩形的长为x,那么宽为4/x,其周长为x+4/x).根据题意,得 x+4/x=6. 即 x2-6x+4=0. 显然这个方程有解,由此说明这样的矩形存在. 解这个方程得: 挑战“自我” 由特殊到一般 如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论? 如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……,n和1呢? 更一般地,当已知矩形的长和宽分别为m和n时,是否仍然有相同的结论? 还等什么！用实际行动证明. 挑战“自我” 分析:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和2mn. 从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn; 解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(m+n)-x,其面积为x[2(m+n)-x].根据题意,得 x[2(m+n)-x]=2mn. 即 x2-2(m+n)x+2mn=0. 解这个方程得: 挑战“自我” 猜想,证明与拓广 结论:任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍. 挑战“自我” 任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半? 你准备怎么去做? 挑战“自我” 由特殊到一般 我们已经知道:如果矩形的长和宽分别为2和1,3和1,4和1,5和1时.都不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.这个结论是否具有一般性? 如果这个结论不具有一般性,那么当矩形的长和宽满足什么条件时,才存在一个新的矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半?你能再找出这样的一个例子吗? 挑战“自我” 由特殊到一般 解:如果矩形的长和宽分别为6和1,那么其周长和面积分别为14和6,所求矩形的周长和面积应分别为7和3.设所求矩形的长为x,那么它宽为3.5-x,其面积为x(3.5-x).根据题意,得 x(3.5-x)=3. 即 2x2-7x+6=0. 由b2-4ac=72-4×2×6=10,知道这个方程有实数根: 挑战“自我” 由特殊到一般 解:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为m+n和mn/2.设所求矩形的长为x,那么它宽为(m+n)/2-x,其面积为x[(m+n)/2-x].根据题意,得 x[(m+n)/2-x]=mn/2. 即 2x2-(m+n)x+mn=0. 由Δ=b2-4ac=(m+n)2-4×2×mn=m2+n2-6mn. 知道只有当m2+n2≥6mn时,这个方程才有实数根: 挑战“自我” 神奇的反比例函数 同学们,我们已经知道用反比例函数可以解答世界数学难题:化圆为方,倍立方体.今天我们再来《读一读》P153反比例函数的又一个杰作. 知识的升华 结束寄语 函数来自现实生活,函数是描述现实世界变化规律的重要数学模型. 函数的思想是一种重要的数学思想,它是刻画两个变量之间关系的重要手段. 从函数的图象中获取信息的能力是学好数学必需具有的基本素质. * * 猜想,证明与拓广 想,做,悟 1 2.你准备怎么去做? 3.你有哪些解决方法? 猜想,证明与拓广 想,做,悟 2 若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2; 若面积倍增,即面积变为2a2,则其边长应为 a. 无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形. a a2 2a 4a2 2a2 a 想,做,悟 3 老师提示: 矩形的形状太多了我们可以先研究一个具体的矩形,比如长和宽分别为2和1,怎么样? 想,做,悟 4 所求矩形的周