数学教学须处理好内容与形式关系.doc

数学教学须处理好内容与形式的关系 　　数学的抽象形式和关系离不开现实世界，数学的符号、公式和体系是人类抽象思维的结果，无法脱离感性事物而独立存在。例如数和形的概念完全是从现实世界得来的。但同时，“这些形式和关系客观地具有与内容无关的性质，无关到这样的程度以致能够把他们完全从内容中抽象出来”[1]，所以说数学往往被称为“形式的科学”。小学数学知识虽然比较简单，但也必须处理好内容与形式的关系，避免数学教学走向两个极端，一方面，我们应注意分析抽象的数学知识是如何形成和发展的，另一方面，我们也应引导学生理解数学是舍弃了具体现象去研究一般性质的科学，数学抽象的绝对化才是数学的特质 一、数学的形式结合内容才让学生获得数学理解 抽象是数学的特点之一，但“抽象性的接受对人类的心智来说，并不是一件简单的差事。如果可以选择的话，人们会在实体和抽象之间选择前者”[2]。也就说，理解数学抽象这个能力并不是我们与生俱来的，而是在学习过程中艰苦获得的，这就决定了要理解抽象的数学就必须结合内容 1.利用相关对象建构来体会符号的意义 数学符号是从客观事物中抽象出来的，教师经常用数学教具、数学模型及创设的数学情境帮助学生学习与理解数学符号 比如数字“5”，学生应该先从五个手指、五个苹果、五片饼干等开始，观察与思考这些集合之间有没有共同点，通过教师的引导，学生知道这个叫“五（wǔ）”的语言表达了这些集合的共同点，同时这些共同点也被数字“5”所概括。从此以后，“5”这个符号会存在他们主观意识之中，并且伴随他们一生 为了更好地解决数学问题，有时我们还必须给符号赋予新的内容。学生原来对“=”的理解，就是写出答案（问题在左、答案在右），而面对利用等式的性质来解方程时，学生就有了认识上的压力。教师此时就该鼓励把等号看成天平的支轴，这是给予“=”新的内容，或者让学生构造出算术等式，如2×6=4×3， 7×2+3-2=5×2-1+6等算术恒等式，让他们渐渐把“=”作为一个关系的记号，而不是“做某件事的信号”。借助于天平和算术恒等式，让学生对“=”有了新的认识，从而能把等式的性质和解方程联系起来 2.通过具体实验操作来抓住概念的本质 数学从现实生活中抽象出的那些定义不是为了说明某种东西的存在，而是为了研究这些定义了的东西之间的关系，这几乎说出了数学概念的本质[3] 关于质数与合数的概念教学，我国的教材基本上直接给出定义，美国教材在教学质数与合数时，安排学生通过矩形的组合探索一个数是质数还是合数。如探索6是质数还是合数，用6个正方形瓷片组合成尽可能多的矩形。我们可以得到1×6和2×3的两个矩形。所以，可以说6的因数有1、2、3和6，因此6有4个因数，它是一个合数。只要是质数，它的矩形组合只有唯一模式的矩形排列，只要是合数，它肯定不止一种模式的矩形排列。用摆正方形磁片的方式来学习质数与合数的概念，定义本身与磁片没有必然的联系，只是用这种方式来说明质数与合数之间的不同。这种“动手做”看起来是一种实验，其实是为判断质数和合数的形式给予了内容上的丰富，形式有了内容，就会加深学生对数学概念的理解 3.借助物理材料表示来理解计算的原理 把符号表述直接地与学生的非正规知识相联系的另一种方法是形成实物表示，此类实物表示与作为讲授目标的抽象符号和方法有着突出联系[4] 像62-45=23这类错误已经出现了上千次，为什么总会发生这样的错误，它的根源是学生没有理解位值原则和减法这两个抽象的概念，或者说是由于形式与内容（位值原则和减法）的过早分离所产生的。无论是事前的讲授还是事后的弥补，都可以借助计数块来解决这个问题，因为用十进制计数块明确地表示实物材料的操作与计算算法中的步骤之间是对应的，如图1所示 图1 计数块操作 解方程有一种方法就是移位法，它是两边作同样运算的简略。但大多数学生却认为这两种方法是不一样的，在两边作同样的运算时强调了方程的对称性，而这个强调点在移项时却没有。为了改变学生的认识，我们也可以利用天平来说明两者的一致性。如解方程2x+4=8，可以看作天平的左边是2x+4，右边是8，如果在天平的左边拿走4，为了天平还是平衡的，右边也必须拿走4，也就是减4，从表面看，左边“+4”没有了，右边多了“-4”，简看起来就是把“+4”移到右边变成了“-4”，这就是对移项换号规则的理解 4.依靠生活经验迁移来了解知识的发生 学生学习数学新知识之前，他们中的大多数已经储备了很多生活经验，其中有的是对理解数学是有很大帮助的。教师可以利用这些经验，引导学生理解数学知识的发生过程以及孤立的抽象知识之间的连贯性 除法来源于减法和乘法，从形式上来看，除法是乘法的逆运算。从内容上看除法就是生活中学生熟悉的分物，也就是减法。可以用一个较小