同济大学固体物理20.ppt

第二十讲 等离子体 维格纳晶格 * * §6.5 等离子体 本章中，我们用“量子力学的理想自由电子气模型”描述金属中的导电电子，效果看似很好。阐明了费密能、电子比热、电导率、磁致电阻、霍尔效应、电子热发射、光电效应、场致发射、接触电势差等一系列物理现象。 但这个模型有二点局限： 没有考虑晶格正离子的周期性势场，即认为所有金属的结构都相同，只是电子数密度n不同。这个局限在第七章讨论。 没有考虑电子之间的相互作用。这个局限在本节和下一节讨论。 当然，第七章中精确求解金属中电子系统的薛定谔方程时，必 须更仔细地考虑电子之间的相互作用。 当考虑了电子之间的相互作用后，系统就不再是理想自由电子气了，各个电子的运动不再是独立的、而是相互关联的。 本节用下述“正电荷凝胶加电子气”模型讨论电子系统： “金属被简化为含N个正电荷和N个电子的中性系统。但N个正电荷被看成固定的均匀带正电凝胶，充满电子所在的全空间，提供一个均匀恒定的背景势场。N个电子除了受到均匀恒定正电荷背景的库仑吸引作用以外，电子之间还存在相互库仑排斥作用。电子服从量子统计的费密-狄喇克分布。金属的边界为一定高度的势垒”。 电子之间的相互作用使各个电子的运动不再是独立的。这意味着我们不能再求解单电子薛定谔方程，而必需求解整个电子气系统的多电子薛定谔方程（取均匀恒定正电荷背景库仑势为零）： 上式中Xi代表了第i个电子的空间坐标和自旋。哈密顿中电子之间的库仑相互作用项是所有麻烦的根源，至今仍困扰着物理学家们。一个直接后果是，该项耦合了所有N个电子的坐标，使方程无法分离变量，因而也无法求解。 以下我们不从波函数着手，而从电子数密度着手讨论，因为等离子体振荡实际上是电荷密度的起伏。所用工具不是量子力学的，而是电动力学的。 等离子体振荡 1．没有振荡的平衡态 设n是电子的平均数密度，则电子平均电荷密度 ρo = - en，正电荷的电荷密度 ρo+ = en。假定系统处于平衡状态时没有振荡，则电子电荷密度ρ等于平均电荷密度ρo，系统内处处保持电中性，没有电场、磁场，从电磁学观点看就好像真空一样。 2．电子气集体运动状态 （1） 等离子体振荡：设想由于某种原因引起电子密度涨落。在某一微小区域电子密度低于平均密度，该微小区域的正电荷背景就会吸引周围的电子，若补充而来的电子数太多了，电子间的库仑排斥作用会驱使电子再离开该处。这样形成电子密度有节奏的起伏，就是等离子体振荡。 （2）电子密度起伏运动所满足的方程 令电子电荷密度为 ρ(r,t)， 电荷密度起伏为 ρ-ρo （某一微小区域内的净电荷）， 与此电荷密度起伏对应的电场E由泊松方程确定： - - - (1) 在此电场作用下，不考虑散射阻力，电子运动方程为 - - - (2) 另外，空间任一点满足电荷守衡定律 - - - (3) 联立解以上三个方程，即得系统电子密度ρ(r,t)。 （3）微小电子密度起伏 考虑 ρ-ρo ＜＜ ρo 的情况，公式（3）可近似写成 - - - (4) 两边对时间求导，并利用公式（1）和（2）： - - - (5) 上式又可写成 - - - (6) 其中等离子体振荡频率 - - - (7) 方程（6）的解可设为 - - - (8) 更普遍的解应写为 - - - (9) 由于方程（6）是近似公式（4）的结果，没有对ρ的梯度， 把（9）式代入（6）不能得到 ω ～ q 色散关系。 详细的理论计算是 D.Pines 和博姆完成的，得到色散关系 - - - （10） vF是费密速度。 （4） 讨论 等离子体振荡频率 ωP ≈ 1016 s-1 ， 而电导过程的弛豫时间 τ ≈ 10-12 s ，所以 ωPτ ＞＞ 1 说明前面略去阻尼力是合理的，同时也表明等离子体振荡是在没有碰撞情况下存在的一种电子集体运动。 由于等离子体振荡是一种密度起伏振荡，只能是纵波。 等离体子（plasmon） 1. 若对电荷密度起伏的解（9）进行二次量子化，可得到熟悉的简谐振子能量解 等离子体振荡的能量量子 称为等离体子（plasmon）。像声子一样，等离体子是一种准粒子，有能量、动量，是玻色粒子，服从玻色统计分布。 请注意：声子和等离体子都是准粒子，或称元激发。它们实际上是代表