1.3.1等比数列(二)课件(2013-2014年北师大版必修五).ppt

课前探究学习 课堂讲练互动 理解等比中项的概念． 掌握“判断数列是否为等比数列”常用的方法． 进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用． 3.1 等比数列(二) 【课标要求】 【核心扫描】 在等比数列中，若m＋n＝p＋q(n，m，p，q∈N＋)，则aman＝apaq的运用．(重点) 等比数列与等差数列的综合．(难点)  1． 2． 3． 1． 2． 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，____________________，那么G叫作a与b的等比中项． 试一试：若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 提示　不一定．因为若G＝0，且a，b中至少有一个为0，则G2＝ab，而根据等比数列的定义，a，G，b不成等比数列；当a，G，b全不为零时，若G2＝ab，则a，G，b成等比数列． 自学导引 1． 使a、G、b成等比数列 等比数列的项与序号的关系以及性质 两项关系 多项关系 通项公式的推广： an＝am·qn－m(m，n∈N＋) 项的运算性质： 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝_____ ap·aq a2·an－1 ak·an－k＋1 2． 等比数列的运算性质 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则 ①{c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为__的等比数列； ③{anm}(m是整数常数)是公比为___的等比数列． (2)若{an}、{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为____的等比数列． 想一想：常数列一定是等比数列吗？ 提示　不一定．当常数列为非零常数列时，此数列为等比数列，否则不是． 4． |q| qm q1q2 等比数列的“子数列”的性质 若数列{an}是公比为q的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列； 偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列； (3)若{kn}成等差数列且公差为d，则{akn}是公比为qd的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列． 等比数列的单调性 (1)当q1，a10或0q1，a10时，等比数列{an}是递增数列． (2)当q1，a10或0q1，a10时，等比数列{an}是递减数列． (3)当q＝1时，等比数列{an}是常数列． (4)当q0时，等比数列{an}是摆动数列． 名师点睛 1． 2． 等比数列的设项法 (1)一般地，当等比数列的项数为奇数时，可设中间一个数为a，再以公比为q向两边对称地设其项； 3． 题型一　已知三角形的两角及一边解三角形 在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6·a10＋a3·a5＝41，a4·a8＝5，求a4＋a8. [思路探索] 由题目可获取以下主要信息：已知等比数列中某些量间的关系，求其他量间的关系．解答本题可从整体上利用等比数列的性质求解． 【例1】 规律方法　在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果． 在递增的等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值． 解　在等比数列{an}中，∵a1·a9＝a3·a7， ∴由已知可得：a3·a7＝64与a3＋a7＝20联立得： 【训练1】 ∵{an}是递增等比数列，∴a7a3. ∴取a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4. ∴a11＝a7·q4＝16×4＝64. 互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成等比数列，也可成等差数列，求这三个数排成的等差数列． [思路探索] 像等差数列一样，等比数列的设项方法主要有两种，即“通项法”和“对称设项法”． 【例2】 题型二　等比数列的设项问题 (2)此题用到“分类讨论”的数学方法，使用“分类讨论”方法解题时，必须做到以下两点： ①明确分类标准(如概念、性质、运算等)； ②分类做到不重不漏． 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 【训练2】 (本题满分12分)在等比数列{an}中，a1＝1，公比为q(q≠0)，且bn＝an＋1－an. (1)判断数列{bn}是否为等比数列？说明理由． (2)求数列{bn}的通项公式． 【例3】 题型三　等比数列的综合题 [规范解答] (1)∵等比数列{an}中，a1＝1，公比为q， ∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0)，(2分) 若q＝1，则an＝1，bn