牛吃草问题例题和练习.docVIP

牛吃草问题 牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随吃的天数不断地变化。基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是（1）草的生长速度＝对应的牛头数吃的较多天数－相应的牛头数吃的较少天数（吃的较多天数－吃的较少天数）； （2）原有草量＝牛头数吃的天数－草的生长速度吃的天数；（3）吃的天数＝原有草量（牛头数－草的生长速度）； （4）牛头数＝原有草量吃的天数＋草的生长速度。例1 ?牧场上有一片匀速生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么这片牧草可供多少头牛吃12天？ 解：27头牛6周的吃草量 27×6＝16223头牛9周的吃草量 23×9＝207 每天新生的草量 (207－162)÷(9－6)＝15 原有的草量207－15×9＝72 72÷12+15=21(头) 例2 ?一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果派10人淘水，6小时淘完；如果派6人淘水，18小时淘完。如果派22人淘水，多少小时可以淘完？ 10人6小时淘水量10×6＝606人18小时淘水量6×18＝108 漏进的新水(108－60)÷(18－6)＝4 原有漏进的水60－4×6＝3636÷(22-4)=2时 例3 ?某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟．如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？ 解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解一个检票口一分钟能检票的人数看成“1份”。 30分钟的总量：4×30=12020分钟的总量：5×20=100 每分钟新增的量：（120-100）÷（30-20）=2 原有的量：120-2×30=60?????100-2×20=60 ★7个检票口需要时间：60÷（7-2）=12（分） 例4 ?两个顽皮的孩子逆着自动滚梯行走，男孩每秒可走3级台阶，女孩每秒可走2级台阶，结果从滚梯一端到达另一端，男孩走了100秒，女孩走了300秒，该滚梯共有多少级？ 男生走了：3×100=300（级）女生走了：2×300=600（级） 每秒新增的量：（600-300）÷（300-100）=1.5（级）????（自动滚梯的速度） ?原有的量（自动滚梯原有的级数）：?300-1.5×100=150（级）600-1.5×300=150（级） 例5 ?自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走80级梯级，女孩每分钟走60级梯级，结果男孩用了0.5分钟到达楼上，女孩用了0.6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少级？ 每分钟减少的量：（80×0.5-60×0.6）÷（0.6-0.5）=40（级/分）??（自动扶梯的速度） 原有的量：80×0.5+40×0.5=60（级）例6 ?由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可供多少头牛吃10天？ 解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少．但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量每天减少的量：（20×5-15×6）÷（6-5）=10 原有的量：20×5+5×10=150 150÷10-10=5（头） 草地原有草量=(牛数-每天长草量)x天数y=(N-X)* T其中，Y代表原有草量，N代表牛的头数，X代表草生长速度，T代表天数。 【例1】一片牧场，假设每天的长草量相同。9头牛吃3天，5头牛吃6天，多少头牛2天吃完?( )A.12 B.13 C.14 D.15 解析：题目给了2个条件，将两个条件分别代入公式中，得到两个方程：y=(9-X)*3=(5-X)*6 两个方程可以解得x=1，y=24。将x=1，y=24带入题目的问题再列个方程=(N-1)*2，可以解得N=13。选B 【例2】有一块草地，每天草生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么这片草地可供10头牛和60只羊一起吃多少天?( ) A.6 B.8 C.12 D.15 解析：虽然题目涉及到了牛和羊，但是给出了1头牛相当于4只羊的换算关系，