1.4条件概率的计算公式.ppt

概率论与数 理 统 计 一、条件概率的概念 例1.4.1一只盒子里混有100只新旧乒乓球，各有黄白两色，分类如下： 10 20 旧 30 40 新 从盒子中随机取出一个球，若记A=｛从盒子中随机取出一个球，该球为新球｝， 若事先知道取出的是黄球， 则上述概率为 记B={从盒子中随机取出一个球，该球为黄球} 条件概率的定义 ２．条件概率的性质 例1.4.2．某种灯泡用5000小时未坏的概率为 ，用10000 小时未坏的概率为 ，现有一只这种灯泡已用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多少？ 解：设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小时” 我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即 所以AB=A， 这表明，用了5000小时的灯泡再用到10000小时的可能性比没有用过的新灯泡用到10000小时的可能性大，这是很自然的，因为前者已经剔除了那些没有用到5000小时的质量较次的灯泡。 二、乘法公式 若 ， 由条件概率定义，可得 上式称为事件概率的乘法公式 它可推广到任意有限个事件 设 为任意n个事件，满足 例1.4.3 甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来的气象记录，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%。 求：1）两市至少有一市是雨天的概率； 2）乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率； 3）甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率。 解 例1.4.4．有一张电影票，7个人抓阄决定谁得到它，问第i个人抓到票的概率是多少？（i=1，2，…，7） 解： 设 =“第i个人抓到票”，（i=1，2，…，7） 如果第二个人抓到票的话，必须第一个人没有抓到票。 这就是说 ，所以 于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人没有抓到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阄中抓到电影票，所以 类似可得 … 例1.4.5．设在一盒子中装有10只球，4只黑球，6只白球，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，问两次都拿到白球的概率是多少？ 解法一： 用古典概型来做 设A=“两次都拿到白球”， 解法二： 用乘法公式来做， 设B=“第一次拿到白球”，A=“第二次拿到白球”， AB=“两次都拿到白球”， 三、全概率公式 例1.4.6 有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有6只白球，4只红球，乙袋中有3只白球6只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。 在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个Ai出现， 例如A是由原因Ai所引起，则A发生的概率是 P (A Bi)=P(Bi)P(A |Bi) 每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和. “全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和. 由以上两例看出，当求某一事件A的概率比较困难，而求条件概率比较容易时，可先设法将这个事件A分成几个互不相容事件的和，再利用加法公式和乘法公式解之。 定理： 设 为一列互不相容的事件，且 则对任一事件A，有 证明见书。 上述公式称为全概率公式。 A B1 B2 B3 Bn ... 全概率公式的来由, 不难由上式看出: “全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和. 当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi | A)作新的估计. i =1,2,3 定理：设 为一列互不相容的事件，且有，对任意的事件B，则有 这个公式称为贝叶斯公式（逆概公式）。 四、贝叶斯公式（逆概公式） 在贝叶斯公式中，P(Bi)和P(Bi |A)分别称为原因的验前概率和验后概率. P(Bi)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件A是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识. 当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi | A)有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。 练：1.盒中有12只乒乓球，其中9只是没有用过的新球，第一次比赛时任取3只使用，用毕返回，第二次比赛时任取3只球。 （1）求第二次取出的全是新球的概率 （2）若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都是新球的概率。 解： 设 =“第一次取出的3只球都是旧球”， =“第一次取出的3只球中有1只新球”， =“第一次