1.4行列式按行(列)展开.ppt

1.4 行列式按行（列）展开 注：元素 的余子式（代数余子式）只与它的位置有关，与它本身的值，还有第i行，第j列上的其他任何元素无关 定理1 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式之和 或　　　　 推论 行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即 或　　　　 　例1　证明范德蒙德（Vander-monde）行列式 证　对行列式阶数用数学归纳法．当 时， 　　　　　　 　　　　　　 结论成立．假设对 阶范德蒙德行列式结论成立，往证 阶范德蒙德行列式也成立． 从第 行开始，后行减前行的 倍，得 按第1列展开，并提出每一列的公因子 ， 有 上式右端的行列式是一个 阶范德蒙德行列 式，由归纳法假设，它等于所有 因子的乘 积，其中 ，即 　例 计算 解 　　　　　　　　　　　　　　　 练习：用降阶法（按行按列展开） 计算行列式的值。 总结： 1、定义法：“0”巨多（很少用） 2、化三角形法： (a) 行（列）和相等，如P15：例3，P16例4，P23：例3, (1)，P24：例4, P38:10 (2), P39:14（5）; (b)三条线型行列式：爪型（P41,4（3）），两对一边（P38，14（4）），三对角线型（如P25，例6）. 3、降阶法： (a)直接根据行列式的性质将某一行元素化成尽可能多的“0”，然后展开（ P23：例3, (2) ）; (b)归纳法：如P26：例7(范德蒙德行列式); (c)递推法，如P25：例6. 注： 1、对于行（列）和相等的行列式，我们通常把第二行到第n行都加到第一行(列)上去，使得第一行（列）的元素都相等，然后提公因子。 2、我们在计算行列式时首先要观察它的结构再计算（ P37: 8（2），（5）） 1.5 克拉默法则 对于二元一次方程组 　　 当系数行列式 时,有惟一解 定理1（克拉默法则）　若线性方程组(2)的系数行列式 ，则方程组有惟一解 (3) 　　　　　　　　　　　　　　　　 其中 是将系数行列式 中第 列的元素用方 程组右端的常数项 代替后所得到的 阶行列式，即 例3 问 取何值时，齐次线性方程组 有非零解． 解　由定理6可知，若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式 ，而 　　　　　　 作业：P39 ：15（5）、 17、 18 　克莱姆（Cramer, Gabriel, 1704 1752 ） ?瑞士数学家 , 于1704年7月31日生于日内瓦 。1724 年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努 利、欧拉等人学习交流，结为挚友。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望 重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。 第2章 矩阵 2.1 矩阵的概念 一、矩阵概念的引入 网上购物既省钱又省力，以当当网为例，当当网需 要从北京 , 上海 , 广州 , 发同一种商品给四个人，三 个人居住在不同的的城市，那么我们有多少种方呢？ 二、矩阵的定义 三、小结 思考题 矩阵 是对角阵。 由 ，解得 、 或 ． 不难验证，当 、 或 时，原齐次线性方程组确有非零解． 思考题: 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何? 解答: 不能,此时方