2.1.2余弦定理课件(2013-2014年北师大版必修五).ppt

课前探究学习 课堂讲练互动 掌握余弦定理，熟记定理的结论，会利用向量的数量积证明余弦定理． 理解余弦定理与勾股定理的关系． 会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 1.2 余弦定理 【课标要求】 【核心扫描】 利用余弦定理求三角形中的边角问题．(重点) 正、余弦定理的综合应用．(重点、难点)  1． 2． 3． 1． 2． 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍． 即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 自学导引 1． 试一试：如何用坐标法证明余弦定理？ 提示　如图建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)， C(bcos A，bsin A)．由两点间距离公式得 ＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccos A＋c2 ＝b2＋c2－2bccos A．同理可证 b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C. 想一想：余弦定理和勾股定理有何关系？ 提示　余弦定理可以看作勾股定理的推广． 在△ABC中，设A为最大角，①若a2b2＋c2，则0°A90°，即三角形为锐角三角形；反之，若0°A90°，则a2b2＋c2.②若a2＝b2＋c2，则三角形为直角三角形，即A＝90°； 反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.③若a2b2＋c2，则180°A90°，即三角形为钝角三角形，反之，若A为钝角，则a2b2＋c2. 余弦定理的理解 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系． (4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 名师点睛 1． 利用余弦定理解三角形的步骤与注意事项： (1)利用余弦定理解三角形的步骤： (2)利用余弦定理解三角形的注意事项： 余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”．  2． 题型一　已知两边及一角解三角形 ° 【例1】 [思路探索] 可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角，也可以由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边长a，再由正弦定理求角A、角C. 当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形， ∴a＝3. 规律方法　已知三角形的两边与一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)． 【训练1】 ° 【例2】 题型二　已知三边(或三边关系)解三角形 规律方法　已知三边解三角形的方法及注意事项： (1)由余弦定理的推论求三内角的余弦值，确定角的大小． (2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小． (3)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角，值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一． 在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________． 【训练2】 (本题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三角形的形状． 审题指导 借助正、余弦定理将条件转化成只关于边(或角)的关系，进而判断三角形的形状，但在应用公式求解时，不能忽视三角形的固有条件，如三内角的范围是(0，π)，两边之和大于第三边、两边之差小于第三边等． 【例3】 题型三　利用余弦定理判断三角形的形状 [规范解答] 已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝ b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)] ∴2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A．(3分) 由正、余弦定理将角转化为边的关系得 ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，(8分) ∴a＝b或a2＋b2＝c2，(10分) 故△ABC为等腰三角形或直角三角形．(12分) 【题后反思】 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而