从简谐运动到混沌1.ppt

混沌的基本特性 * 从简谐运动到混沌 从牛顿创立经典力学以来，决定论长期处于主导地位，按牛顿定律列出体系所遵从的运动微分方程，求出的解析函数表示运动学方程，从给定的初始运动状态就能唯一地确定体系在其它任一时刻的运动状态.利用牛顿定律可以精确预言何时发生日蚀，慧星何时来临，太空飞船如何飞行等等. 牛顿定律这种决定论的观点，因海王星的发现而登峰造极，其中，法国数学家拉普拉斯的一段名言把这种决定论思想发挥到了顶峰： 给定宇宙的初始条件我就能预言未来 . 混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性－－不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。 以状态参量 张成 的空间就称为相空间 ? m 积分 简谐运动的相图 自由小摆角 积分常数 自由任意摆角 积分 小阻尼小摆角 参看教材阻尼振动 小阻尼任意摆角 有阻尼有驱动力 参量值: 则由小到大取一系列数值进行数值计算 f＝1.047 相图是闭环，单摆周期摆动 f＝1.07 单摆的摆动在两个驱动力周期内才恢复原状态，其频率为驱动频率的一半，称为二分频 . f＝1.081 随着 f 的增加，单摆运动又出现四分频、八分频… 相图变得无序，相点随机地在某一位置出现，此时单摆已进入混沌状态 f＝1.15 f ＝1.35 单摆运动是一倍周期的旋转. 一个周期内 单摆做二倍周期旋转 f＝1.45 f＝1.47 单摆做四倍周期旋转 相图又变得复杂无序，又出现混沌. f＝1.50 相图有序，单摆做周期运动 f＝1.60 f＝1.70 相图无序又出现混沌 一个非线性系统并非在任何条件下都出现混沌运动，只有当某个参量到达某个阈值时系统才进入混沌状态，在此之前系统的运动可能出现周期性分岔。1978年费根鲍姆发现相继出现分岔的值的间隔趋于常数。 1、非线性系统中的特有现象 2、对参量的依赖性 费根鲍姆第一常数 费根鲍姆第二常数 3、对初值的极端敏感性 … … … 00 53 00 52 … … … 00 4 0.9216003 0.9216 3 00.36 2 00.1 1 x′n xn n 吸引子： 表示动力学系统当 时的渐近行为 奇怪吸引子 奇怪吸引子虽然复杂但有明确的边界，这个明确的边界保证体系在整体上存在稳定性，但在吸引子范围内相点出现的位置却完全随机。 混沌 极限环吸引子 不动点吸引子 平庸吸引子 小角度摆 阻尼摆 洛仑兹吸引子——奇怪吸引子 巴西的一只蝴蝶扇动翅膀，也有可能几个月之后在美国的德克萨斯州引起一场风暴。 *