2007.1.4立体几何中的向量方法(二).ppt

* 练习巩固 思考1 引入 知识要点 例1的思考 方法小结 练习巩固 1详细答案 思考题 1答案 方法小结 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. （化为向量问题或向量的坐标问题） （进行向量运算） （回到图形） 课外思考(1)(2)(3) 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1 B1 C1 D1 A B C D 图1 解:如图1,不妨设 化为向量问题 依据向量的加法法则， 进行向量运算 所以 回到图形问题 这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。 思考： (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ (2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗? A1 B1 C1 D1 A B C D (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平面的距离或两点间的距离） 思考(1)分析: 思考(2)分析: ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长. 思考(3)下一节分析 A1 B1 C1 D1 A B C D H 分析：面面距离转化为点面距离来求 解： ∴ 所求的距离是 思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? 如何用向量法求点到平面的距离? D A B C G F E x y z 如何用向量法求点到平面的距离? D A B C G F E x y z 广东省阳江市第一中学周如钢 广东省阳江市第一中学周如钢 知识要点2 例1 例1答案 作业及练习 例2 例2答案 例2答案 * 例1 课外思考题: 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离. 作业:课本练习2,3习题3 解:建立坐标系如图, 则A(0,0,0),B(,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), 刚才的思考具有一般性,当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲): 立体几何中的向量方法(二) 立体几何中的向量方法(二) 立体几何要解决的主要问题是空间图形的形状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重要问题. 上一节,我们认识了直线的方向向量及平面的法向量的概念,发现可以利用这两个向量的运算(特别是数量积) 解决点、直线、平面之间的平行、垂直、夹角等问题. 问题:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 在空间直角坐标系中,已知, ,试求平面ABC的一个法向量. 解:设平面的一个法向量为 则.∵, ∴即 ∴ 取,则 ∴是平面的一个法向量. 问题:如何求平面的法向量? ⑴设平面的法向量为 ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ⑶根据法向量的定义建立关于的方程组 ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 解:设平面的一个法向量为 则. ∴即 ∴① ∵②∴由①②得 ∴平面的单位法向量为或. 练习: 1.已知求平面的单位法向量. 练习: 1.已知求平面的单位法向量. 2.若两个平面的法向量分别是,则这两个平面所成的锐二面角的度数是________. 或. 思考题.如图,PA⊥平面ABC, AC⊥BC,PA=AC=1,BC=, 求二面角A-PB-C的余弦值. 思考题.如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC=,求二面角A-PB-C的余弦值. 分析: 若用几何法本题不太好处理,注意到适当建立空间直角坐标系后各点坐标容易处理,可考虑尝试用向量法处理,从而把问题转化为向量运算问题. 思考题.如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC=,求二面角A-PB-C的余弦值. =(0,0,1),, ∴∴,令x=1,则=(1,, 设平面PAB的法向量为=(x,y,z),则 设平面PBC的法向量为, ∴令 ∴cos,∵二面角为锐角∴二面角A-PB-C的余弦值为 解:建立坐标系如图, 则A(0,0,0),B(,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), =(0,0,1),, 设平面PAB的法向量为=(x,y,z), 解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz． 由题设C(0,