2007.1.6立体几何中的向量方法(四).ppt

* 求两点间的距离 课本例3 引入 例1的思考(3)再尝试 练习3 A1 B1 C1 D1 A B C D 课本例2的学习 课本第116页练习2的思考:(求两点间的距离向量法思路) 如图,60°的二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB＝4,AC＝6,BD＝8,求CD的长. B A C D 第115页的思考解答(由学生课外学习) 课本例2.如图甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 分析：如图， 化为向量问题 由图可知有向量关系 进行向量运算尝试 A B C D 课本第115页例2的思考(2) 如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析：如图，设以顶点 为端点的对角线 长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。 A1 B1 C1 D1 A B C D 则 课本第115页的思考(3) 如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个面夹角的余弦值吗？ A1 B1 C1 D1 A B C D 分析： 二面角 平面角 向量的夹角 回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1E⊥AB 于点 E， E F 在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。 ∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。 向量法(坐标化) 不建坐标系怎么解 z x y F1 F2 F3 A C B O 500kg F1 F3 F2 F1 F2 F3 A C B O 500kg F1 F3 F2 1答案 2答案 所以： 解：以点C为坐标原点建立空间 直角坐标系 如图所示， 设 则 C | | 所以 与 所成角的余弦值为 设平面 x y z z x y A B C C1 即 取x=1,z则y=-1,z=1,所以 E A1 B1 广东省阳江市第一中学周如钢 广东省阳江市第一中学周如钢 知识要点3 知识要点2 例1 例1答案 例1答案2 例2 例2答案 例2答案 * 练习题 分析:要求的长可以转化为求的模的大小. 作业:自学课本例4 思考课本第116页例3 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？ 解：如图，以点为原点,平面为坐标平面，方向为轴正方向,为轴的单位长度，建立空间直角坐标系,则正三角形的顶点坐标分别为 合力就是以、、为棱的平行六面体的对角线向量(如图所示) 用向量法解空间图形问题 向量法解立体几何问题的优点: 1.思路容易找,甚至可以公式化； 一般充分结合图形发现向量关系或者求出(找出)平面的法向量、直线的方向向量，利用这些向量借助向量运算就可以解决问题. 2.不需要添辅助线和进行困难的几何证明; 3.若坐标系容易建立,更是水到渠成. 立体几何中的向量方法(四) 立体几何中的向量方法(四) 课本第114页例1的思考(3)的再尝试: 已知平行六面体中 且 求点到底面的距离. 分析:有现成的,只要再找出平面的一个法向量即可! 怎么找? 注意到任一向都可以用基向量来表示,可考虑用待定系数法找一个法向量. 用向量法解空间图形问题 怎么求呢? 显然直接求出不来,这时可以 结合图形发现用其他已知向量来表示的关系式,从而求转化为其他已知向量的运算使问题获解. 由图可知 有了! 注:利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二面角的大小.例如课本第115页例2 求解目标:库底与水坝所成的二面角的余弦值即与的夹角的余弦值. ∵,∵只要求出即可. 刚才的式子把有关数据代入就能求出,搞定! 用向量法解空间图形问题 用向量法解空间图形问题 分析:钢板所受重力的大小为，垂直向下作用在三角形的中心，如果能将各顶点出所受的力、、用向量形式表示，求出其合力，就能判断钢板的运动状态. 设方向上的单位向量坐标为， 由于与,的夹角均为， ∴ 又∵③ ∴由①②③可解得,,. ∴ 同法可求得, ,, 合力 这说明，作用在钢板的合力方向向上,大小为,作用点为. 由于,所以钢板仍静止不动 要提起这块钢板,设=,则需,解得， 因此,要提起这块钢板, 、、均要大于． 练习1: 三棱柱中, ,, 分别是棱的中点,