二、极坐标系.ppt

小结 建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向 极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个 一点的极坐标有否统一的表达式？ 有，(ρ，2kπ+θ) 极坐标与直角坐标的互化 * * 从这向东走 500米。 请问：去?? 中学怎么走？ 请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？ 从这向东走500米！ 出发点 方向 距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 一、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。（通常取逆时针方向）. 这样就建立了一个极坐标系. X O 强调：不做特殊说明时,?≥0,?∈R 当?=0时，表示极点(0,?) 。 ?表示线段OM的长度，叫做点M的极径; X O M. ? ? 有序数对(?,?)就叫做点M的极坐标. ?表示以OX为始边，射线OM为终边的 角,叫做点M的极角; 二、极坐标系内一点的极坐标的规定 例1、 如图，写出各点的极坐标： 。 O x ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G ? A(4,0) B(3, ) ? 4 C(2, ) ? 2 D(5, ) 5? 6 E(4.5, ?) F(6, ) 4? 3 G(7, ) 5? 3 1 例2：下图是某校园的平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标。 50m B D E C A 60m 120m 45o 60o O X [变式训练 ] 在课本P10的图上描下列点： [小结]由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点. 三、点的极坐标的表达式的研究 X O M ? ? 如图：OM的长度为4， 请说出点M的极坐标的表达式？ 思考：这些极坐标之间有何异同？ 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。 极径相同，不同的是极角. 四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 [1]给定（?,?）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M [2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 O X P M (ρ,θ) [3]如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外, 平面内的点和极坐标就可以一一对应了. 点与极坐标是一对多的关系 在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的 情况下，也允许取负值(?0): 当?0时如何规定(?, ?)对应的点的位置？ ° O x 当?0时，点M(?, ?)的位置规定： ? ) ) |?| ? M (?, ?) ° O x M(-2, ) 5? 6 ) 5? 6 ? ? 点M：在角?终边的反向延长线上，且|OM|=|?| ? M(-2, ) 5? 6 五、关于负极径 小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”. 关于负极径的思考 “负极径”真是“负”的？ 根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？ ？？？ 负极径的实质:从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。而反向延长也可以看成是旋转 ? ，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向 ”。 负极径小结：极径变为负，极角增加 ? 。 说出下图中当极径取负值时各点的极坐标： 练一练 。 O x ? 4 ? 2 5? 6 5? 4 5? 3 ? 11? 6 2? 3 3? 2 A(-4,0) C(-2, ) ? 2 B(3, ) 5? 6 D(-1, ) 5? 3 E(3,- ) ? 6 (-4,- ) ? 3 F ? A ? B ? C ? D ? E ? F [小结] (?, ?) (?, 2k?+?) (-?, ?+?) (-?, ?+(2k+1)?) 都是同一点的 极坐标. 1 与直角坐标系的联系与区别 极坐标系与直角坐标系的异同是什么？ 都是用有序实数对来表示平面上的点. 其中坐标的意义不同. 直角系的坐标与平面上点是一一对应的; 极坐标系的坐标与平面上点多对一的; 有没有办法使极坐标与点之间一一对应？ 除极点外，限制 平面内一点P的直角坐标是 ，其极坐标如何表示?点Q的极坐标为 ，其直角坐标如何表示？ 思考？ 六