2015-2016学年人教版数学选修1-1《3.2.1几个常用函数的导数》课件.ppt

第3章 导数及应用 3.2.1 几个常用函数的导数 几个常用函数的导数 内容：根据导数的定义求四个常用函数的导数 应用 根据导数定义求出函数的导数 求曲线在某点处的切线方程 本课主要学习根据导数定义求出几个常用函数的导数,利用地球脉动视频引入新课,以“问题引导，探究交流”为主，新知识是学生在已有知识的基础上探究而来，例题的处理非常灵活，变式训练设计合理，过渡有水到渠成之感，整堂课下来充实流畅. 在讲述利用导数求切线方程时，采用例题与思考与探究相结合的方法，通过2个例题。随后是课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，有利于对不同的学生进行因材施教。 1.导数的定义是什么？ 2.导数的几何意义是什么？ 地球的变幻—导数与函数的变幻 地球脉动 函数 y = f (x) =c 的导数 y=c y x O y?=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0. 若y=c表示路程关于时间的函数,则y?=0则为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态. 从几何的角度理解： 从物理的角度理解： 函数 y= f (x)=x 的导数 y=x y x O y?=1表示函数y=x图象上每一点处的切线斜率都为1. 若y=x表示路程关于时间的函数,则y?=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动. 从几何的角度理解： 从物理的角度理解： 函数 y = f (x) = x2 的导数 y=x2 y x O y? =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x, 说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y?=2x表明: 当x0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢; 当x0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快. 从几何的角度理解： 从物理的角度理解： 若y=x2表示路程关于时间的函数,则y?=2x可以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x. 函数 y = f (x) = 的导数 画出函数 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. 2 1 -1 -2 -2 -1 1 2 x y 例1.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关? 2 1 -1 -2 -2 -1 1 2 x y y=x y=2x y=3x y=4x 例2．已知函数 ，求曲线 在点 处的切线方程． 故曲线在点 处的切线方程为： 所以， ． 解：因为 = ， 即： . 一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬间变化率是 ， 我们称它为在点处的导数，记为，或， 即：. （1）求函数的改变量； （2）求平均变化率； （3）取极限，得导数==． 简称:一差、二商、三极限. 曲线在点（）处的切线的斜率． 3.求函数的导数的一般步骤是什么？ 1．四个常用函数的导数： （1）的导数； （2）的导数； （3）的导数； （4）的导数． 2．求函数导数的步骤： （1）求函数的改变量； （2）求平均变化率； （3）得导数=． 3．函数的导数的不同角度意义的解释： （1）几何意义的解释是：曲线在点（）处的切线的斜率； （2）物理意义的解释是：物体运动在某一时刻的瞬时速度． 解：函数的导数 因为， 所以=． 同理可求得函数的导数；函数的导数 如图，画出它们的图象， （1）从图象上看，它们的导数分别 表示各条直线的斜率； （2）在这三个函数中，增加 得最快，增加得最慢； （3）函数增加的快慢 与有关系，即与函数的导数有关 系，越大，函数增加的越快，越小，函数增加的越慢. 函数减少的快慢与有关系，即与函数导数的绝对值有关系，越大，函数减少的越快，越小，函数减少的越慢． 解：设切点为，直线的斜率： ， 直线l的方程为：， 即： 又因为直线l过点， 所以：，解得： 所以所求的切线方程为：，即：． 1．知识： （1）利用定义求导法的方法，求导的三个步骤：作差，求 商，取极限． （2）四个常用函数的导数： 的导数； 的导数； 的导数 ； 的导数． （3）函数的导数的不同角度意义的解释． （4）利用导数求切线方程的方法． 必做题： 1．已知圆面积，根据导数定义求． 2．已知,求． 3．求过曲线上点的切线的直线方程． 4．求曲线的斜率等于4