3.2.2一元二次不等式的应用课件(北师大版必修五).ppt

课前探究学习 课堂讲练互动 掌握一类简单的可化为一元二次不等式的分式不等式的解法． 会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用题． 2.2 一元二次不等式的应用 【课标要求】 【核心扫描】 一元二次不等式的应用．(重点) 一元二次不等式中的恒成立问题．(难点) 与二次函数、二次方程、实际应用题联系密切，而且应用广泛． 注意实际问题中变量有意义的范围．  1． 2． 1． 2． 3． 4． 一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集是R的等价条件是 __________；一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集是R的等价条件是__________. 自学导引 1． a0且Δ0 a0且Δ0 穿针引线法——解简单分式不等式或高次不等式的方法 (1)将不等式化为标准形式；一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积． (2)求出各因式为0时的实数根，并在数轴上标出． (3)自最右端上方起，用曲线从右至左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(说明：奇过偶不过)． (4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集． 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤 (1)理解题意，搞清量与量之间的关系； (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解． 3． 4． 想一想：用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600 m2的矩形吗？________(用“能”或“不能”填空) 提示　能．设矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m，0＜x＜50.由题意，得x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形 由二次函数图像与一元二次不等式的关系分析，可以得到常用的两个结论： (1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0； 名师点睛 1． 一元二次不等式的实际应用 (1)解不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解决好不等式应用题最关键的一环． (2)不等式应用题常常以函数的形式出现，大都是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中涉及不等式解法及有关问题． (3)不等式应用题主要考查综合运用数学知识，数学方法分析和解决实际问题的能力，考查数学建模、解不等式等数学内容． 2． 分离参数法——解不等式恒成立问题 对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.  3． 题型一　恒成立问题 当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R? [思路探索] 不等式的解集为R，也就是函数f(x)＝(a2－1)x2－(a－1)x－1的图像恒在x轴下方，注意二次项系数a2－1可能为0，也可能小于0，应分两种情况讨论加以解决． 【例1】 (2)审清题意，弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．例如，“已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对?a∈[－3,1]，y＜0恒成立”中，变量是a，参数是x，该函数是关于a的函数． 不等式(a＋1)x2＋ax＋a＞m(x2＋x＋1)对任意x恒成立，试比较a与m的大小． 解　原不等式整理得 (a－m＋1)x2＋(a－m)x＋a－m＞0对任意x恒成立． ①当a－m＋1＝0时，原不等式化为－x－1＞0， 即x＜－1，不恒成立． ②当a－m＋1≠0时，由题意知 【训练1】 ∵a－m＋1＞0，∴3(a－m＋1)＋1＞1＞0， ∴a－m＞0，∴a＞m. 综上，a与m的大小关系是a＞m. [思路探索] 将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组． 【例2】 题型二　分式不等式的解法 规律方法　(1)解分式不等式关键是如何将它转化为同解的整式不等式，化未知为已知．做题时要体会这种转化的思想． (2)转化的依据是实数运算的符号法则，所以要将不等式一边先化为零． 【训练2】 [思路探索] 解答本题可先移项通分，将各因式最高次项系数化为正，再转化为与它同解的整式不等式求解．用穿针引线法求解集． 【例3】 题型三　 　简单高次不等式的解法 此不等式等价于(x＋1)(x－2)(x－1)2(x＋4)≤0，且x≠1，x≠ －4.分别令各