4-9定积分的物理应用.ppt

复习：定积分的几何应用 1、直角坐标情形 第七节 定积分的物理应用 一、变力沿直线所作的功 二、液体的侧压力 三、引力 * 二、立体的体积 1、旋转体的体积 x y o 2、平行截面面积为已知的立体的体积 三、曲线的弧长 2、参数方程情形 曲线弧为 曲线弧为 3、极坐标情形 曲线弧为 变速直线运动的速度 非均匀细棒的质量 解 功元素 所求功为 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 解 如图建立坐标系 这一薄层水体积的近似值为 将这一薄层水抽到容器口克服重力 所作的功元素为： 解 在端面建立坐标系如图 解 建立坐标系如图 面积微元 由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离时，力对物体所作的功为. 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想. 例1 把一个带 电量的点电荷放在 轴上坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为 （是常数），当这个单位正电荷在电场中从 处沿 轴移动到 处时，计算电场力 对它所作的功． 取为积分变量， 取任一小区间, 取为积分变量， 取任一小区间, 由物理学知道，在水深为处的压强为，这里是水的比重．如果有一面积为的平板水平地放置在水深为处，那么，平板一侧所受的水压力为． 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强不相等，平板一侧所受的侧压力就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想． 例3 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力． 取为积分变量， 取任一小区间 小矩形片上各处的压强近似相等 小矩形片的面积为 小矩形片的压力元素为 端面上所受的压力 例4 　将直角边各为及的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力． 由物理学知道，质量分别为相距为 的两个质点间的引力的大小为，其中为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向． 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算． 例5 有一长度为、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒单位处有一质量为的质点，计算该棒对质点的引力． 取为积分变量 取任一小区间