4.1圆的对称性.ppt

圆的相关概念 1.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 4.半圆：直径的两端点将圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆 (如 弧ABC). 垂径定理的逆定理 如图,在下列五个条件中: 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. 垂径定理及逆定理 * 4.1圆的对称性（1） 驶向胜利的彼岸 2.弦:连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB). ●O 3.直径:经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). AB ⌒ 以A,B两点为端点的弧.记作 ,读作“弧AB”. AB ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母). ⌒ AmB 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 (用三个字母). A B C ⌒ m D 5、同心圆 ：圆心相同，半径不等的圆。 6、等圆：能够重合的圆。（半径相等，圆心不同） 7、等弧：在同圆或等圆中能够互相重合的弧。 8、弦心距：过圆心作弦的垂线，圆心和垂足之间的距离。 9、弓形：由弦及其所对弧组成的图形。 弓形的高：弧的中点到弦的距离。 10、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。 我们大家来探讨 1.在一张半透明纸片上画一个圆，标出它的圆心O并任意作出一条直径AB，将⊙O沿直径折叠，你发现了什么？由此你得出什么结论？ 结论：圆是轴对称图形，每一条 直径所在的直线都是它的 对称轴 2.如图：AB是 ⊙O的直径，作弦CD，使CD⊥AB，记垂足为E，将⊙O沿直径AB折叠，你发现弧AC与弧AD有什么关系？弧BC与弧BD有什么关系？线段CE与DE有什么关系？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并平分弦所对的两条弧 （证明过程见课本108 ） 注意对垂径定理的理解： （1）两个条件：①直径 ②垂直于弦 三个结论：①平分弦②平分弦所对的劣弧 ③平分弦所对的优弧 （2）对直径的理解： 可延伸为直径所在直线的一部分 如图中的 OA（半径）、 OE（弦心距）、 AE、BE（弓高） （3）半径、弦心距及弓高的关系 BE（弓高）=OB（半径）＋OE（弦心距） AE（弓高）=OA（半径）－OE（弦心距） （4）半径OC、弦的一半CE及弦心距OE构成一个Rt⊿OCE,能够运用勾股定理解决问题 共五个量 合作学习 垂径定理的推论 如图，如果CD是⊙O的弦（不是直径），过CD的中点E作⊙O的直径AB，你发现AB与CD垂直吗？弧AC与弧AD的大小有什么关系？弧BC与弧BD的大小有什么关系？证明你的结论。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧 合作学习 为什么这里要强调CD是⊙O的弦而不是直径呢？ 垂径定理的推论 你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的! 驶向胜利的彼岸 ●O A B C D M└ ① CD是直径, ③ AM=BM, ② CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ●O A B C D M└ 想一想 9 ①②③ ④⑤ ①②④ ③⑤ ①②⑤ ③④ ①③④ ②⑤ ①③⑤ ②④ ①④⑤ ②③ ②③④ ①⑤ ②③⑤ ①④ ②④⑤ ①③ ③④⑤ ①② 命题 结论 条件 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. 垂径定理的推论（知二推三） 1.直径 2.垂直于弦 3.平分弦 4.平分弦所对的劣弧 5.平分弦所对的优弧 如果把上面的五个量中的任意两个作为条件，那么就可以推出其余三个结论. 如图，MN所在的直线垂直平分AB，利用这样的工具，最少两次就可以找到圆形工件的圆心，你能说出理论依据吗？ （垂直平分弦的直线必过圆心） 返回 赵州石拱桥 出示例题：课本109页例1 我是最棒的 相应训练 ⊙O的半径为10cm，弦AB=12cm，则圆心到AB的 距离为________. 2.如图， ⊙O的直径CD为10cm，弦AB=8cm，AB⊥CD，垂足为M， 则DM的长为___________. （1、2题学生独立完成，然后小组内交流答案 养成随手画草图的好习惯，即数形结合） 合作学习 我参与 我快乐 3.如图，两个圆都以O为圆心，若