4.2初等行变换逆矩阵(修正).ppt

一、矩阵的初等变换 一、矩阵的初等变换 一、矩阵的初等变换 如果行阶梯形矩阵还满足以下条件，称为行简化阶梯形矩阵： （1）各非零行的第一个非零元素都是； （2）所有第一个非零元素所在列的其余元素都是０． 例1 将 二、矩阵的秩 1.定义 矩阵A的阶梯形矩阵中非零行的个数，称为矩阵A的秩，记作秩(A)或r(A)． 由定义可知求矩阵的秩，只需把它化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的个数，就是矩阵的秩． 二、矩阵的秩 4.满秩矩阵 三、逆矩阵的概念 设n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得AB＝BA＝E，则称 B 为 A 的逆矩阵，称 A 是可逆阵。 例5 2.定理 四、逆矩阵的求法 初等变换法： 小 结 思 考 题 思考题解答 * 第*页 4.2 矩阵的初等行变换 一、矩阵的初等行变换 三、逆矩阵的概念 四、逆矩阵的求法 二、矩阵的秩 目标 记清矩阵的三种初等行变换并会用 会恰当用初等行变换 掌握逆矩阵的概念、逆矩阵所满足的 运算律，理解秩的概念 会用矩阵的初等行变换求逆矩阵、秩 重点 逆矩阵的概念及求法 难点 准确求逆矩阵 4.2 矩阵的初等行变换 （一）下列三种变换，称为矩阵的初等行变换： 1.交换矩阵的两行; 2.用一非零常数乘矩阵的某行; 3.用常数乘矩阵的某行, 加到其它的行上。 例如 ①+②×(-3) 1.定义 满足以下条件的矩阵称为行阶梯形矩阵，简 称阶梯形矩阵： （1）矩阵的零行（若存在）在矩阵的最下方； （2）各个非零行的第一个非零元素的列标随着行标 的增大而严格增大 （二）行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵 例如，矩阵 和 都是阶梯形矩阵。 2.行简化阶梯形矩阵 例如,　矩阵 和 是行简化阶梯阵． 定理 任何矩阵 经过一系列初等行变换可化成阶梯形矩阵 也可化成行简化阶梯形矩阵． 化成简化行阶梯阵。 过程见教材例1，结果为： 注意：矩阵的行简化阶梯形矩阵是惟一的，而矩阵的阶梯形矩阵并不是惟一的，但是一个矩阵的阶梯形矩阵中非零行的个数是惟一的.矩阵的这一特征是矩阵重要的数字特征． 一、矩阵的初等变换 2.求法 化为阶梯形阵，非零行的个数，就是矩阵的秩． 例2 求 与 对于任意矩阵 都有 若n阶方阵A的秩等于n, 则称A是满秩的，或非奇异阵。 定理：任何满秩矩阵经过初等行变换均能化为单位阵。 定理：方阵可逆的充要条件是其为满秩阵 例3 判断下列矩阵是否可逆？ A可逆，B不可逆。 （或称 的逆）； 其中 为 的倒数 则矩阵 称为 的逆矩阵. 引入：在数的运算中， 当数 时，有 在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中 的1， 如果存在一个矩阵 , 使得 例4 设 事实上，若AB＝BA＝E成立，则A与B互为可逆矩阵。 1.逆矩阵的定义 三、逆矩阵的概念 矩阵 就无逆矩阵 。 例6 矩阵 的逆矩阵为 三、逆矩阵的概念 若A可逆，则 是唯一的。 3.运算律 若A可逆，数k 不为0，则 三、逆矩阵的概念 例7 求例3中矩阵A的逆矩阵。 1. 逆矩阵、逆矩阵运算律 3. 逆矩阵的计算方法、矩阵秩的求法 2.逆矩阵 存在 A满秩 初等变换法 作业 P145 1，2，5 *